四川师范大学 2025年数学分析第7题
📝 题目
7、（15 分）判断 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} y^{x} e^{y} d y$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上是否一致收敛，并说明理由．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：分析被积函数在无穷远处的行为
考虑积分 $I(x)=\int_{0}^{+\infty} y^{x} e^{y} dy$，其中 $x\in[0,+\infty)$。被积函数 $f(y,x)=y^{x}e^{y}$。当 $y\to +\infty$ 时，$e^{y}$ 增长极快，而 $y^{x}$ 是多项式增长，因此 $f(y,x)\to +\infty$，积分发散。
提示：注意 $e^{y}$ 的增长速度远快于任何幂函数，因此积分发散。
步骤 2/6
目标：取特殊点 $x=0$ 验证发散性
取 $x=0$，则 $I(0)=\int_{0}^{+\infty} e^{y} dy$。计算该积分：$\int_{0}^{+\infty} e^{y} dy = \lim_{b\to +\infty} \int_{0}^{b} e^{y} dy = \lim_{b\to +\infty} (e^{b}-1) = +\infty$，因此 $I(0)$ 发散。
公式：\int e^{y} dy = e^{y} + C
提示：注意积分限是 $0$ 到 $+\infty$，$e^{y}$ 的原函数是 $e^{y}$，代入上限得无穷大。
步骤 3/6
目标：说明积分在 $[0,+\infty)$ 上处处发散
对于任意固定的 $x\geq 0$，当 $y$ 充分大时，$y^{x}e^{y} \geq e^{y/2}$（因为 $y^{x} \geq 1$ 且 $e^{y/2}\to +\infty$，实际上更严格：存在 $Y$ 使得 $y>Y$ 时 $y^{x}e^{y} \geq e^{y/2}$）。而 $\int_{Y}^{+\infty} e^{y/2} dy$ 发散，故 $I(x)$ 发散。因此积分在 $[0,+\infty)$ 上处处发散。
公式：比较判别法：若 $f(y)\geq g(y)\geq 0$ 且 $\int g$ 发散，则 $\int f$ 发散。
提示：注意比较函数的选择：$e^{y/2}$ 的积分发散，但需确保不等式成立。
步骤 4/6
目标：一致收敛的定义回顾
含参量反常积分 $\int_{a}^{+\infty} f(x,y) dy$ 在区间 $I$ 上一致收敛，要求对任意 $\varepsilon>0$，存在 $M>a$，使得对所有 $x\in I$ 和 $b>M$，有 $\left|\int_{b}^{+\infty} f(x,y) dy\right| < \varepsilon$。特别地，一致收敛的必要条件是每个 $x$ 处积分收敛。
提示：一致收敛要求所有点同时满足收敛速度一致，但首先每个点必须收敛。
步骤 5/6
目标：判断一致收敛性
由于积分在 $x=0$ 处发散，即 $I(0)$ 不存在，因此积分不可能在包含 $x=0$ 的区间 $[0,+\infty)$ 上一致收敛。实际上，一致收敛要求每个点都收敛，而 $x=0$ 处发散，故不一致收敛。
提示：注意：即使积分在部分点收敛，但只要存在一个点发散，则整个区间上不可能一致收敛。
步骤 6/6
目标：总结结论
因此，$\displaystyle \int_{0}^{+\infty} y^{x} e^{y} dy$ 在 $[0,+\infty)$ 上不一致收敛，因为它在 $x=0$ 处发散。
提示：最终答案要明确说明理由。
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