四川师范大学 2025年数学分析第6题
📝 题目
6、（15 分）计算第二型曲面积分 $\displaystyle \iint_{S} x d y d z+y d z d x+z d x d y$ ，其中 $S$ 为单位球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ 的外侧．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：识别题型与适用定理
观察积分形式：$\iint_S x\,dy\,dz + y\,dz\,dx + z\,dx\,dy$，其中 $S$ 是封闭曲面（单位球面外侧）。被积函数对应向量场 $\mathbf{F} = (x, y, z)$，且曲面封闭，因此考虑使用高斯公式将曲面积分转化为三重积分。
公式：高斯公式：$\iint_S \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S} = \iiint_V \nabla \cdot \mathbf{F} \, dV$
提示：注意高斯公式要求曲面外侧，本题已指明外侧，符合条件。
步骤 2/5
目标：计算散度
计算向量场 $\mathbf{F} = (x, y, z)$ 的散度：
$\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial x}{\partial x} + \frac{\partial y}{\partial y} + \frac{\partial z}{\partial z} = 1 + 1 + 1 = 3$。
公式：$\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}$
提示：散度计算是标量，注意偏导数的正确性。
步骤 3/5
目标：应用高斯公式
由高斯公式，曲面积分等于散度在封闭曲面所围区域 $V$ 上的三重积分：
$\iint_S x\,dy\,dz + y\,dz\,dx + z\,dx\,dy = \iiint_V 3 \, dV$。
提示：注意高斯公式中 $dy\,dz$ 对应 $x$ 分量，$dz\,dx$ 对应 $y$ 分量，$dx\,dy$ 对应 $z$ 分量，与向量点乘一致。
步骤 4/5
目标：计算三重积分
区域 $V$ 是单位球体 $x^2+y^2+z^2 \leq 1$，其体积为 $\frac{4}{3}\pi$。因此：
$\iiint_V 3 \, dV = 3 \times \text{Vol}(V) = 3 \times \frac{4}{3}\pi = 4\pi$。
公式：球体体积公式：$V = \frac{4}{3}\pi R^3$，其中 $R=1$
提示：体积计算时注意半径的立方，不要误用半径平方。
步骤 5/5
目标：得出最终结果
因此，原曲面积分的值为 $4\pi$。
提示：最终结果应简洁，注意单位（无单位）。
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