四川师范大学 2025年数学分析第5题

函数 $y = \frac{1+x^2}{1+x}$ 的分母不能为零，因此 $1+x \neq 0$，即 $x \neq -1$。定义域为 $(-\infty, -1) \cup (-1, \infty)$。

考虑 $x \to -1$ 时函数的变化。计算极限：$\lim_{x \to -1} \frac{1+x^2}{1+x}$。分子趋于 $1+(-1)^2=2$，分母趋于 $0$，因此极限为无穷大。具体地，当 $x \to -1^-$ 时，分母负，分子正，极限为 $-\infty$；当 $x \to -1^+$ 时，分母正，分子正，极限为 $+\infty$。所以 $x=-1$ 是垂直渐近线。

计算 $\lim_{x \to +\infty} \frac{1+x^2}{1+x}$。分子分母同除以 $x$：$\lim_{x \to +\infty} \frac{x + \frac{1}{x}}{1 + \frac{1}{x}} = \infty$，因为分子趋于 $\infty$，分母趋于 $1$。所以 $x \to +\infty$ 时无水平渐近线。

计算 $\lim_{x \to -\infty} \frac{1+x^2}{1+x}$。分子分母同除以 $x$：$\lim_{x \to -\infty} \frac{x + \frac{1}{x}}{1 + \frac{1}{x}}$。注意 $x \to -\infty$ 时，$x$ 趋于 $-\infty$，分子趋于 $-\infty$，分母趋于 $1$，因此极限为 $-\infty$。所以 $x \to -\infty$ 时也无水平渐近线。

设斜渐近线为 $y = kx + b$，其中 $k = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x}$。计算：$k = \lim_{x \to \infty} \frac{1+x^2}{x(1+x)} = \lim_{x \to \infty} \frac{1+x^2}{x+x^2}$。分子分母同除以 $x^2$：$\lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^2}+1}{\frac{1}{x}+1} = \frac{0+1}{0+1} = 1$。同样，$x \to -\infty$ 时也得到 $k=1$。

计算 $b = \lim_{x \to \infty} (f(x) - kx) = \lim_{x \to \infty} \left(\frac{1+x^2}{1+x} - x\right)$。通分：$\frac{1+x^2 - x(1+x)}{1+x} = \frac{1+x^2 - x - x^2}{1+x} = \frac{1 - x}{1+x}$。再求极限：$\lim_{x \to \infty} \frac{1-x}{1+x} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} - 1}{\frac{1}{x} + 1} = \frac{0-1}{0+1} = -1$。同样，$x \to -\infty$ 时也得到 $b=-1$。

由以上步骤，函数有一条垂直渐近线 $x=-1$ 和一条斜渐近线 $y = x - 1$。注意斜渐近线在 $x \to \pm\infty$ 时均适用。