四川师范大学 2025年数学分析第4题
📝 题目
4、（30 分）计算题．
（1） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{\pi}{2}-\arctan x\right)^{\frac{1}{\ln x}}$ ．
（2） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n^{3} \arctan (1+n)\left(1-\cos \frac{1}{n^{2}}\right)}{\sqrt{1+n^{2}}-n}$ ．
（3） $\displaystyle \int \frac{d x}{2+\sin ^{2} x}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：化简极限表达式
令 $t = \frac{\pi}{2} - \arctan x$，则当 $x \to \infty$ 时，$t \to 0^+$，且 $\arctan x = \frac{\pi}{2} - t$，所以 $x = \tan\left(\frac{\pi}{2} - t\right) = \cot t$。于是 $\ln x = \ln(\cot t) = -\ln(\tan t)$。原极限化为 $\lim_{t \to 0^+} t^{\frac{1}{-\ln(\tan t)}} = \lim_{t \to 0^+} e^{-\frac{\ln t}{\ln(\tan t)}}$。
公式：$\arctan x + \arctan(1/x) = \frac{\pi}{2}$
提示：注意变量替换后极限形式的变化，确保指数部分正确转换。
步骤 2/7
目标：计算指数部分的极限
计算 $\lim_{t \to 0^+} \frac{\ln t}{\ln(\tan t)}$。当 $t \to 0^+$ 时，$\tan t \sim t$，所以 $\ln(\tan t) \sim \ln t$，因此极限为 $1$。
公式：$\tan t \sim t$ 当 $t \to 0$
提示：等价无穷小替换时注意 $\ln(\tan t)$ 与 $\ln t$ 的差异，但此处极限为1。
步骤 3/7
目标：得出最终结果
原极限为 $e^{-1} = \frac{1}{e}$。
提示：注意指数上的负号。
步骤 4/7
目标：化简第二题表达式
当 $n \to \infty$ 时，$\arctan(1+n) \to \frac{\pi}{2}$，$1-\cos\frac{1}{n^2} \sim \frac{1}{2n^4}$，分母有理化：$\sqrt{1+n^2} - n = \frac{1}{\sqrt{1+n^2}+n} \sim \frac{1}{2n}$。
公式：$1-\cos x \sim \frac{x^2}{2}$ 当 $x \to 0$；$\sqrt{a^2+b} - a \sim \frac{b}{2a}$ 当 $a \to \infty$
提示：注意 $\arctan(1+n)$ 的极限是 $\frac{\pi}{2}$，不是 $\frac{\pi}{2}$ 的近似。
步骤 5/7
目标：计算第二题极限
原极限等价于 $\lim_{n \to \infty} \frac{n^3 \cdot \frac{\pi}{2} \cdot \frac{1}{2n^4}}{\frac{1}{2n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{\pi}{4n}}{\frac{1}{2n}} = \frac{\pi}{2}$。
提示：注意约分时 $n$ 的幂次。
步骤 6/7
目标：第三题使用万能公式
令 $t = \tan x$，则 $\sin^2 x = \frac{t^2}{1+t^2}$，$dx = \frac{dt}{1+t^2}$。代入得 $\int \frac{1}{2+\frac{t^2}{1+t^2}} \cdot \frac{dt}{1+t^2} = \int \frac{dt}{2(1+t^2)+t^2} = \int \frac{dt}{2+3t^2}$。
公式：万能公式：$\sin x = \frac{2\tan(x/2)}{1+\tan^2(x/2)}$，但此处用 $t=\tan x$ 更简单
提示：注意 $dx$ 的变换不要遗漏。
步骤 7/7
目标：积分并回代
$\int \frac{dt}{2+3t^2} = \frac{1}{2} \int \frac{dt}{1+\frac{3}{2}t^2}$。令 $u = \sqrt{\frac{3}{2}} t$，则 $dt = \sqrt{\frac{2}{3}} du$，积分变为 $\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{2}{3}} \int \frac{du}{1+u^2} = \frac{1}{\sqrt{6}} \arctan u + C = \frac{1}{\sqrt{6}} \arctan\left(\sqrt{\frac{3}{2}} \tan x\right) + C$。
公式：$\int \frac{dx}{1+x^2} = \arctan x + C$
提示：回代时注意常数因子。
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