四川师范大学 2025年数学分析第3题
📝 题目
3、（15 分）$\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}\left(x^{2}+y^{2}\right) \cos \frac{1}{x^{2}+y^{2}} & x^{2}+y^{2} \neq 0 \\ 0 & x^{2}+y^{2} \neq 0\end{array}\right.$ ，试判断 $\displaystyle f_{x}^{\prime}(x, y)$ 与 $\displaystyle f_{y}^{\prime}(x, y)$在点 $\displaystyle (0,0)$ 是否连续．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：明确函数定义
函数定义为：
\[ f(x,y) = \begin{cases} (x^2+y^2) \cos \frac{1}{x^2+y^2}, & x^2+y^2 \neq 0 \\ 0, & x^2+y^2 = 0 \end{cases} \]
注意：题目中第二个条件写为 $x^2+y^2 \neq 0$，应为 $x^2+y^2 = 0$，即原点处。
提示：注意区分定义域：原点处函数值为0，其余点由表达式给出。
步骤 2/6
目标：计算偏导数在原点处的值
由偏导数定义：
\[ f_x'(0,0) = \lim_{h\to 0} \frac{f(h,0)-f(0,0)}{h} = \lim_{h\to 0} \frac{h^2 \cos \frac{1}{h^2}}{h} = \lim_{h\to 0} h \cos \frac{1}{h^2} = 0 \]
同理，$f_y'(0,0)=0$。
公式：偏导数定义：$f_x'(x_0,y_0) = \lim_{h\to 0} \frac{f(x_0+h,y_0)-f(x_0,y_0)}{h}$
提示：注意 $h \cos(1/h^2)$ 当 $h\to 0$ 时，$\cos$ 有界，故极限为0。
步骤 3/6
目标：求非原点处的偏导函数表达式
当 $(x,y) \neq (0,0)$ 时，对 $f(x,y)$ 求偏导：
\[ f_x'(x,y) = 2x \cos \frac{1}{x^2+y^2} + (x^2+y^2) \cdot \left(-\sin \frac{1}{x^2+y^2}\right) \cdot \left(-\frac{2x}{(x^2+y^2)^2}\right) \]
化简得：
\[ f_x'(x,y) = 2x \cos \frac{1}{x^2+y^2} + \frac{2x}{x^2+y^2} \sin \frac{1}{x^2+y^2} \]
类似地：
\[ f_y'(x,y) = 2y \cos \frac{1}{x^2+y^2} + \frac{2y}{x^2+y^2} \sin \frac{1}{x^2+y^2} \]
公式：复合函数求导：$(u(v))' = u'(v) v'$，其中 $u = \cos(1/r^2)$，$v = 1/r^2$
提示：注意求导时符号：$\frac{d}{dx} \cos(1/(x^2+y^2)) = \sin(1/(x^2+y^2)) \cdot \frac{2x}{(x^2+y^2)^2}$。
步骤 4/6
目标：判断偏导函数在原点处的连续性
考虑沿路径 $y=0$，$x\to 0$：
\[ f_x'(x,0) = 2x \cos \frac{1}{x^2} + \frac{2x}{x^2} \sin \frac{1}{x^2} = 2x \cos \frac{1}{x^2} + \frac{2}{x} \sin \frac{1}{x^2} \]
当 $x\to 0$ 时，第一项 $2x \cos(1/x^2) \to 0$，但第二项 $\frac{2}{x} \sin(1/x^2)$ 无极限。
提示：注意第二项中 $\frac{2}{x}$ 趋于无穷，而 $\sin(1/x^2)$ 振荡，导致整体无极限。
步骤 5/6
目标：用具体子列证明极限不存在
取子列 $x_n = \frac{1}{\sqrt{2n\pi}}$，则 $\sin(1/x_n^2)=0$，$f_x'(x_n,0)=2x_n \cos(2n\pi) \to 0$。
取子列 $x_n = \frac{1}{\sqrt{2n\pi+\pi/2}}$，则 $\sin(1/x_n^2)=1$，$f_x'(x_n,0)=2x_n \cos(2n\pi+\pi/2) + \frac{2}{x_n} \to \infty$。
因此 $\lim_{(x,y)\to(0,0)} f_x'(x,y)$ 不存在，故 $f_x'(x,y)$ 在 $(0,0)$ 不连续。同理，$f_y'(x,y)$ 也不连续。
提示：注意选取子列时，要使 $\sin$ 项取不同值，以体现振荡。
步骤 6/6
目标：总结结论
偏导数 $f_x'(x,y)$ 和 $f_y'(x,y)$ 在点 $(0,0)$ 处不连续。
提示：注意：偏导数存在不一定连续，本题即为一例。
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