四川师范大学 2025年数学分析第2题
📝 题目
2、（15 分）已知 $f$ 在 $\displaystyle [-1,1]$ 连续，且 $f$ 不恒为 0 ．
（1）$\displaystyle A=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt[3]{1+f(x) \sin x}-1}{3^{x}-1}$ 是否能够应用洛必达法则计算．
（2）计算 $A$ 的值．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：分析分子分母在x→0时的极限
当 $x \to 0$ 时，$\sin x \sim x$，且 $f$ 在 $[-1,1]$ 连续，故 $f(x)\sin x \to 0$，因此分子 $\sqrt[3]{1+f(x)\sin x}-1 \to 0$。分母 $3^x-1 \to 0$，所以极限为 $\frac{0}{0}$ 型未定式。
公式：$\sin x \sim x$，$3^x-1 \sim x\ln 3$
提示：注意 $f$ 连续但不一定可导，洛必达法则要求分子分母可导。
步骤 2/5
目标：判断洛必达法则的适用条件
洛必达法则要求分子分母在 $x=0$ 的去心邻域内可导，且分母导数不为零。分子导数涉及 $f'(x)$，但题目只给出 $f$ 连续，未说明可导，因此不能保证分子可导，故不能直接应用洛必达法则。
提示：洛必达法则的前提是分子分母都可导，且分母导数不为0。
步骤 3/5
目标：使用等价无穷小替换化简极限
由于 $x \to 0$ 时，$\sqrt[3]{1+u}-1 \sim \frac{1}{3}u$（$u \to 0$），令 $u = f(x)\sin x$，则分子等价于 $\frac{1}{3}f(x)\sin x$。分母 $3^x-1 \sim x\ln 3$。因此 $A = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{3}f(x)\sin x}{x\ln 3}$。
公式：$\sqrt[3]{1+u}-1 \sim \frac{1}{3}u$，$3^x-1 \sim x\ln 3$
提示：等价无穷小替换时注意 $u \to 0$ 的条件，这里 $f(x)\sin x \to 0$ 成立。
步骤 4/5
目标：进一步化简极限表达式
利用 $\sin x \sim x$，得 $A = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{3}f(x) \cdot x}{x\ln 3} = \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{3\ln 3}$。
公式：$\sin x \sim x$
提示：注意约去 $x$ 时 $x \neq 0$，但极限过程 $x \to 0$ 可以约去。
步骤 5/5
目标：利用连续性计算极限值
由于 $f$ 在 $x=0$ 连续，所以 $\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$。因此 $A = \frac{f(0)}{3\ln 3}$。
提示：连续性保证了极限值等于函数值。
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