大连理工大学 2023年数学分析第0题
📝 题目
1．设 $f_{n}(x)=x n^{-x}(n=1,2, \cdots)$ ，问 $\left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $[0,+\infty)$ 上是否一致收敛，为什么？
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：求极限函数
对于每个固定的 $x \geq 0$，计算 $\lim_{n \to \infty} f_n(x) = \lim_{n \to \infty} x n^{-x}$。当 $x=0$ 时，$f_n(0)=0$；当 $x>0$ 时，$n^{-x} \to 0$，所以极限为 $0$。因此极限函数 $f(x)=0$，$x \in [0,+\infty)$。
公式：$\lim_{n \to \infty} n^{-x} = 0$ 对于 $x>0$
提示：注意 $x=0$ 时 $n^{-x}=1$，但乘以 $x$ 后仍为 $0$，所以极限也是 $0$。
步骤 2/5
目标：将一致收敛问题转化为上确界问题
函数序列 $\{f_n\}$ 在区间上一致收敛于 $f$ 当且仅当 $\sup_{x \in [0,+\infty)} |f_n(x)-f(x)| \to 0$。这里 $f(x)=0$，所以需要计算 $\sup_{x \geq 0} x n^{-x}$。
公式：$\sup_{x \in D} |f_n(x)-f(x)| \to 0$ 是一致收敛的充要条件
提示：注意上确界是最大值，因为函数连续且趋于 $0$。
步骤 3/5
目标：求函数 $g_n(x)=x n^{-x}$ 的最大值
令 $g_n(x)=x n^{-x}=x e^{-x \ln n}$。求导：$g_n'(x)=e^{-x \ln n} - x \ln n \cdot e^{-x \ln n}=e^{-x \ln n}(1 - x \ln n)$。令 $g_n'(x)=0$ 得 $x=1/\ln n$。由于 $g_n(0)=0$，$g_n(\infty)=0$，且 $g_n(x) \geq 0$，所以最大值在 $x=1/\ln n$ 处取得。
公式：$g_n'(x)=e^{-x \ln n}(1 - x \ln n)$
提示：求导时注意 $n^{-x}=e^{-x \ln n}$，使用链式法则。
步骤 4/5
目标：计算最大值
代入 $x=1/\ln n$：$g_n(1/\ln n) = \frac{1}{\ln n} \cdot n^{-1/\ln n} = \frac{1}{\ln n} \cdot e^{-1} = \frac{1}{e \ln n}$。因此 $\sup_{x \geq 0} |f_n(x)-0| = \frac{1}{e \ln n}$。
公式：$n^{-1/\ln n}=e^{-1}$
提示：注意 $n^{-1/\ln n}=e^{-\ln n / \ln n}=e^{-1}$。
步骤 5/5
目标：判断上确界是否趋于零
当 $n \to \infty$ 时，$\frac{1}{e \ln n} \to 0$。所以 $\sup_{x \in [0,+\infty)} |f_n(x)-0| \to 0$，因此函数序列在 $[0,+\infty)$ 上一致收敛于 $0$。
公式：$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{e \ln n}=0$
提示：注意 $\ln n \to \infty$，所以倒数趋于 $0$。
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