📝 大连理工大学 2023年数学分析真题

1．设 $f_{n}(x)=x n^{-x}(n=1,2, \cdots)$ ，问 $\left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $[0,+\infty)$ 上是否一致收敛，为什么？

2．证明无穷积分 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\sin x}{x} \mathrm{~d} x$ 收敛。

3．计算极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 1}\left(\frac{m}{1-x^{m}}-\frac{n}{1-x^{n}}\right)$ ．

4．设 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上可导，且 $\displaystyle 0 \leq f(x) \leq \frac{x}{1+x^{2}}, x \geq 0$ ，求证：存在 $\xi \in(0,+\infty)$ ，使得

$$
f^{\prime}(\xi)=\frac{1-\xi^{2}}{\left(1+\xi^{2}\right)^{2}}
$$

5．设 $\left\{b_{n}\right\}$ 是正的严格递增数列，且 $\lim _{n \rightarrow \infty} b_{n}=+\infty$ ，求证：$\displaystyle \varlimsup_{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n}}{b_{n}} \leq \varlimsup_{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n}-a_{n-1}}{b_{n}-b_{n-1}}$ ．这里假设右侧的上极限存在．

6．设 $f(x)$ 连续，$\displaystyle g(x)=\frac{1}{n!} \int_{a}^{x}(x-t)^{n} f(t) \mathrm{d} t$ ，计算 $g^{(n+1)}(x)$ ．

7．设 $\left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}$ 均不为零，且 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n}}{b_{n}}=1$ ，若级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收玫，级数 $\sum_{n=1}^{\infty} b_{n}$ 是否收敛，为什么？

8．求 $f(x)=(1-x) \sqrt{|x|}$ 在 $(-1,1)$ 的极值点与极值．

9．求证下列函数在 $\mathbb{R}$ 上连续可导．

$$
f(x)= \begin{cases}e^{\frac{1}{x}}, & x<0 \\ x^{2}, & x \geq 0\end{cases}
$$

10．设 $f(x)$ 在 $[1,+\infty)$ 上连续可微，$\left|f^{\prime}(x)\right| \leq 1(x \geq 1)$ ，求证：$\displaystyle \frac{f(x)}{x}$ 在 $[1,+\infty)$ 上一致连续．

1．设 $D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leq 1\right\}$ ，实数 $\alpha, \beta$ 满足 $\alpha^{2}+\beta^{2}<1$ ，计算二重积分

$$
\iint_{D} \frac{\mathrm{~d} x \mathrm{~d} y}{(1-\alpha x+\beta y)^{2}+(\beta x+\alpha y)^{2}}
$$

2．利用变换 $u=x+e^{y}, v=x-e^{y}$ 求解微分方程 $\displaystyle e^{2 y} \frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}-\frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}+\frac{\partial z}{\partial y}=0$ ．

3．计算 $f(x, y)=5 x^{2}+5 y^{2}-8 x y$ 在条件 $x^{2}+y^{2}-x y=75$ 下的最小值．

1．设 $f: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}$ 在 $\mathbb{R}^{n}$ 连续， $\lim _{|\mathbf{x}| \rightarrow+\infty} f(\mathbf{x})=0$ ，其中 $\mathbf{x}=\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right),|\mathbf{x}|=\sqrt{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots+x_{n}^{2}}$ ，求证： $\lim _{k \rightarrow \infty} \int_{[0,1]^{n}} f(k \mathbf{x}) \mathrm{d} x_{1} \cdots \mathrm{~d} x_{n}=0$ ．

2．设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上有二阶导数，且 $f(0)=f(1)=0$ ，若 $\min _{x \in[0,1]} f(x)=-1$ ．证明：存在 $\xi \in(0,1)$ ，使得 $f^{\prime \prime}(\xi) \geq 8$ ．

3．证明如下等式： $\displaystyle \int_{0}^{1} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n-1}}{n} \mathrm{~d} x=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \int_{0}^{1} x^{n-1} \mathrm{~d} x$ ．

4．设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续， $\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x=0$ ，求证：$\displaystyle \left(\int_{0}^{1} x f(x) \mathrm{d} x\right)^{2} \leq \frac{1}{12} \int_{0}^{1} f^{2}(x) \mathrm{d} x$ ．

5．求证：方程 $\displaystyle x=\int_{0}^{y} \frac{\mathrm{~d} t}{\sqrt{1-t^{4}}}$ 在 $x=0$ 的邻域内确定了连续可微函数 $y=y(x)$ ，满足

$$
y^{\prime}(x)=\sqrt{1-y^{4}(x)}
$$