大连理工大学 2023年数学分析第0题
📝 题目
4．设 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上可导，且 $\displaystyle 0 \leq f(x) \leq \frac{x}{1+x^{2}}, x \geq 0$ ，求证：存在 $\xi \in(0,+\infty)$ ，使得
$$
f^{\prime}(\xi)=\frac{1-\xi^{2}}{\left(1+\xi^{2}\right)^{2}}
$$
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：构造辅助函数
令 $g(x) = f(x) - \frac{x}{1+x^2}$，则 $g(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上可导，且 $g(0) = f(0) - 0 \leq 0$。由 $f(x) \leq \frac{x}{1+x^2}$ 得 $g(x) \leq 0$，由 $f(x) \geq 0$ 得 $g(x) \geq -\frac{x}{1+x^2}$。
公式：g(x) = f(x) - \frac{x}{1+x^2}
提示：注意辅助函数的构造要使得结论中的导数形式出现。
步骤 2/7
目标：分析 $g(x)$ 在无穷远处的极限
由于 $\lim_{x\to +\infty} \frac{x}{1+x^2} = 0$，且 $0 \leq f(x) \leq \frac{x}{1+x^2}$，由夹逼定理得 $\lim_{x\to +\infty} f(x) = 0$，从而 $\lim_{x\to +\infty} g(x) = 0$。
公式：\lim_{x\to +\infty} \frac{x}{1+x^2} = 0
提示：夹逼定理的使用条件：$f(x)$ 被夹在两个极限相等的函数之间。
步骤 3/7
目标：讨论 $g(x)$ 恒为零的情况
若 $g(x) \equiv 0$，则 $f(x) = \frac{x}{1+x^2}$，求导得 $f'(x) = \frac{1-x^2}{(1+x^2)^2}$，此时任意 $\xi \in (0,+\infty)$ 均满足结论。
公式：f'(x) = \frac{1-x^2}{(1+x^2)^2}
提示：注意恒为零时结论自动成立，无需进一步证明。
步骤 4/7
目标：讨论 $g(x)$ 不恒为零的情况
若 $g(x)$ 不恒为零，则存在 $x_0 > 0$ 使得 $g(x_0) < 0$。又 $g(0) \leq 0$，$\lim_{x\to +\infty} g(x) = 0$，故 $g(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上有最小值。
提示：最小值的存在性需要利用连续函数在闭区间上的性质，但这里区间是无穷的，需结合极限。
步骤 5/7
目标：确定最小值点不在端点
设最小值点为 $\xi$。若 $\xi = 0$，则 $g(0)$ 为最小值，但 $g(0) \leq 0$ 且 $g(x_0) < 0$，矛盾。故 $\xi > 0$。
提示：注意 $g(0)$ 可能等于0，但存在更小的点，所以最小值点不能在0。
步骤 6/7
目标：利用费马定理得到导数条件
由于 $\xi$ 是 $g(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 内的最小值点，且 $g(x)$ 可导，由费马定理得 $g'(\xi) = 0$，即 $f'(\xi) - \frac{1-\xi^2}{(1+\xi^2)^2} = 0$，从而 $f'(\xi) = \frac{1-\xi^2}{(1+\xi^2)^2}$。
公式：g'(\xi) = 0 \Rightarrow f'(\xi) = \frac{1-\xi^2}{(1+\xi^2)^2}
提示：费马定理要求极值点在内点且函数可导。
步骤 7/7
目标：总结结论
综合两种情况，存在 $\xi \in (0,+\infty)$ 使得 $f'(\xi) = \frac{1-\xi^2}{(1+\xi^2)^2}$。
提示：注意两种情况都得到存在性，无需区分。
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