大连理工大学 2023年数学分析第0题
📝 题目
3．证明如下等式： $\displaystyle \int_{0}^{1} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n-1}}{n} \mathrm{~d} x=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \int_{0}^{1} x^{n-1} \mathrm{~d} x$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：理解问题并明确目标
我们需要证明等式：
$$
\int_{0}^{1} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n-1}}{n} \, dx = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \int_{0}^{1} x^{n-1} \, dx.
$$
这等价于交换积分与求和的次序。由于级数非负，可以考虑使用单调收敛定理。
提示：注意等式左边是积分号内求和，右边是求和号内积分，交换次序需要验证条件。
步骤 2/6
目标：分析级数的收敛性
考虑函数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n-1}}{n}$。对于 $x \in [0,1)$，该级数收敛到 $-\frac{\ln(1-x)}{x}$；在 $x=1$ 处，级数发散（调和级数）。因此，级数在 $[0,1]$ 上并非一致收敛，但逐点收敛（在 $x=1$ 处为 $+\infty$）。
公式：$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n-1}}{n} = -\frac{\ln(1-x)}{x}, \quad x \in [0,1)$$
提示：注意 $x=1$ 是奇点，但积分仍然收敛。
步骤 3/6
目标：应用单调收敛定理
由于每一项 $f_n(x) = \frac{x^{n-1}}{n} \geq 0$ 在 $[0,1]$ 上非负，且级数逐点收敛（几乎处处），由勒贝格单调收敛定理，积分与求和可交换：
$$
\int_{0}^{1} \sum_{n=1}^{\infty} f_n(x) \, dx = \sum_{n=1}^{\infty} \int_{0}^{1} f_n(x) \, dx.
$$
因此等式成立。
公式：单调收敛定理：若 $f_n \geq 0$ 且 $f_n \uparrow f$ a.e.，则 $\int \sum f_n = \sum \int f_n$。
提示：单调收敛定理要求非负可测函数，这里 $f_n$ 连续，满足条件。
步骤 4/6
目标：计算右边积分
计算右边每一项的积分：
$$
\int_{0}^{1} x^{n-1} \, dx = \left[ \frac{x^n}{n} \right]_{0}^{1} = \frac{1}{n}.
$$
因此右边等于 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{n} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}$。
公式：$$\int_{0}^{1} x^{n-1} dx = \frac{1}{n}$$
提示：注意 $n$ 从1开始，积分结果正确。
步骤 5/6
目标：计算左边积分（可选）
左边积分：
$$
\int_{0}^{1} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n-1}}{n} \, dx = \int_{0}^{1} -\frac{\ln(1-x)}{x} \, dx.
$$
该积分等于 $\frac{\pi^2}{6}$（可通过级数展开或特殊函数得到）。因此两边相等，验证了等式。
公式：$$\int_{0}^{1} -\frac{\ln(1-x)}{x} dx = \frac{\pi^2}{6}$$
提示：这个积分是著名的，但证明中不需要计算，只需说明交换次序合理。
步骤 6/6
目标：总结证明
由单调收敛定理，积分与求和可交换，因此等式成立。实际上，两边都等于 $\frac{\pi^2}{6}$。
提示：注意：虽然级数在 $x=1$ 发散，但积分收敛，单调收敛定理仍然适用。
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