大连理工大学 2023年数学分析第0题
📝 题目
8．求 $f(x)=(1-x) \sqrt{|x|}$ 在 $(-1,1)$ 的极值点与极值．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：将函数写成分段形式
由于函数含有绝对值，需根据 $x$ 的正负分段。定义域为 $(-1,1)$。
$$f(x)=\begin{cases} (1-x)\sqrt{-x}, & x<0 \\ (1-x)\sqrt{x}, & x\geq 0 \end{cases}$$
提示：注意绝对值处理时，$\sqrt{|x|}$ 在 $x<0$ 时为 $\sqrt{-x}$，$x\geq 0$ 时为 $\sqrt{x}$。
步骤 2/7
目标：求 $x<0$ 时的导数
当 $x<0$ 时，$f(x)=(1-x)\sqrt{-x}$。求导：
$$f'(x)=-\sqrt{-x}+(1-x)\cdot\frac{1}{2\sqrt{-x}}\cdot(-1)=-\sqrt{-x}-\frac{1-x}{2\sqrt{-x}}$$
通分：
$$f'(x)=\frac{-2(-x)-(1-x)}{2\sqrt{-x}}=\frac{2x-1+x}{2\sqrt{-x}}=\frac{3x-1}{2\sqrt{-x}}$$
由于 $x<0$，分子 $3x-1<0$，分母 $2\sqrt{-x}>0$，故 $f'(x)<0$，函数在 $(-1,0)$ 上单调递减。
公式：导数公式：$(\sqrt{u})'=\frac{u'}{2\sqrt{u}}$
提示：注意复合函数求导时，内层函数 $u=-x$ 的导数为 $-1$。
步骤 3/7
目标：求 $x>0$ 时的导数并求驻点
当 $x>0$ 时，$f(x)=(1-x)\sqrt{x}$。求导：
$$f'(x)=-\sqrt{x}+(1-x)\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}=-\sqrt{x}+\frac{1-x}{2\sqrt{x}}=\frac{-2x+1-x}{2\sqrt{x}}=\frac{1-3x}{2\sqrt{x}}$$
令 $f'(x)=0$ 得 $1-3x=0$，即 $x=\frac{1}{3}$。
公式：导数公式：$(\sqrt{x})'=\frac{1}{2\sqrt{x}}$
提示：注意 $x>0$ 时 $\sqrt{x}$ 的导数正确形式。
步骤 4/7
目标：判断 $x>0$ 时驻点的极值性
当 $00$，分母 $2\sqrt{x}>0$，故 $f'(x)>0$，函数递增；当 $\frac{1}{3}
提示：利用一阶导数符号判断单调性，从而确定极值。
步骤 5/7
目标：分析 $x=0$ 处的可导性与极值性
计算左右导数：
左导数：$f'_-(0)=\lim_{x\to 0^-}\frac{3x-1}{2\sqrt{-x}}=\frac{-1}{0^+}=-\infty$；
右导数：$f'_+(0)=\lim_{x\to 0^+}\frac{1-3x}{2\sqrt{x}}=\frac{1}{0^+}=+\infty$。
左右导数不相等且为无穷，故 $x=0$ 处不可导，但函数连续。由于左邻域递减（$f'(x)<0$），右邻域递增（$f'(x)>0$），所以 $x=0$ 是极小值点。
提示：不可导点也可能是极值点，需通过左右导数符号或单调性判断。
步骤 6/7
目标：计算极值
极小值：$f(0)=(1-0)\sqrt{0}=1$。
极大值：$f\left(\frac{1}{3}\right)=\left(1-\frac{1}{3}\right)\sqrt{\frac{1}{3}}=\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{9}$。
提示：注意 $\sqrt{0}=0$，代入时小心。
步骤 7/7
目标：总结极值点与极值
极值点：$x=0$（极小值点），$x=\frac{1}{3}$（极大值点）。
极值：极小值 $f(0)=1$，极大值 $f\left(\frac{1}{3}\right)=\frac{2\sqrt{3}}{9}$。
提示：注意区间为开区间，端点不考虑。
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