大连理工大学 2023年数学分析第0题
📝 题目
1．设 $f: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}$ 在 $\mathbb{R}^{n}$ 连续， $\lim _{|\mathbf{x}| \rightarrow+\infty} f(\mathbf{x})=0$ ，其中 $\mathbf{x}=\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right),|\mathbf{x}|=\sqrt{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots+x_{n}^{2}}$ ，求证： $\lim _{k \rightarrow \infty} \int_{[0,1]^{n}} f(k \mathbf{x}) \mathrm{d} x_{1} \cdots \mathrm{~d} x_{n}=0$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：利用极限定义得到一致有界性
由 $\lim_{|\mathbf{x}|\to+\infty} f(\mathbf{x}) = 0$，对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $M > 0$，使得当 $|\mathbf{x}| > M$ 时，$|f(\mathbf{x})| < \varepsilon$。
提示：注意极限定义中 $|\mathbf{x}|$ 是欧几里得范数，$M$ 依赖于 $\varepsilon$。
步骤 2/6
目标：变量替换将积分区域变换
令 $\mathbf{y} = k\mathbf{x}$，则 $\mathbf{x} = \frac{\mathbf{y}}{k}$，$d\mathbf{x} = \frac{1}{k^n} d\mathbf{y}$，积分区域 $[0,1]^n$ 变为 $[0,k]^n$。于是
\[
\int_{[0,1]^n} f(k\mathbf{x}) \, d\mathbf{x} = \frac{1}{k^n} \int_{[0,k]^n} f(\mathbf{y}) \, d\mathbf{y}.
\]
公式：变量替换公式：$\int_{[0,1]^n} f(k\mathbf{x}) d\mathbf{x} = \frac{1}{k^n} \int_{[0,k]^n} f(\mathbf{y}) d\mathbf{y}$
提示：注意雅可比行列式为 $1/k^n$，且积分区域变换正确。
步骤 3/6
目标：分割积分区域并估计
将 $[0,k]^n$ 分为两部分：$A = \{\mathbf{y} \in [0,k]^n : |\mathbf{y}| \leq M\}$ 和 $B = \{\mathbf{y} \in [0,k]^n : |\mathbf{y}| > M\}$。则
\[
\left| \int_{[0,k]^n} f(\mathbf{y}) \, d\mathbf{y} \right| \leq \int_A |f(\mathbf{y})| \, d\mathbf{y} + \int_B |f(\mathbf{y})| \, d\mathbf{y}.
\]
提示：注意 $A$ 和 $B$ 的划分依赖于 $M$，且 $A$ 是紧集。
步骤 4/6
目标：估计区域A上的积分
由于 $f$ 连续，$|f|$ 在紧集 $A$ 上有最大值，设为 $C = \max_{\mathbf{y} \in A} |f(\mathbf{y})|$。则
\[
\int_A |f(\mathbf{y})| \, d\mathbf{y} \leq C \cdot \operatorname{vol}(A) \leq C \cdot (2M)^n,
\]
因为 $A$ 包含在超立方体 $[-M,M]^n$ 中，其体积为 $(2M)^n$。
公式：最大值原理：连续函数在紧集上取最大值
提示：注意 $A$ 不一定等于 $[-M,M]^n$，但包含在其中，所以体积不超过 $(2M)^n$。
步骤 5/6
目标：估计区域B上的积分
在 $B$ 上，$|f(\mathbf{y})| < \varepsilon$，所以
\[
\int_B |f(\mathbf{y})| \, d\mathbf{y} \leq \varepsilon \cdot \operatorname{vol}(B) \leq \varepsilon \cdot k^n.
\]
提示：注意 $B$ 的体积不超过 $[0,k]^n$ 的体积 $k^n$。
步骤 6/6
目标：合并估计并取极限
结合以上估计，得
\[
\left| \frac{1}{k^n} \int_{[0,k]^n} f(\mathbf{y}) \, d\mathbf{y} \right| \leq \frac{C (2M)^n}{k^n} + \varepsilon.
\]
取 $k$ 充分大，使得 $\frac{C (2M)^n}{k^n} < \varepsilon$，则上式 $< 2\varepsilon$。由 $\varepsilon$ 的任意性，得
\[
\lim_{k\to\infty} \int_{[0,1]^n} f(k\mathbf{x}) \, d\mathbf{x} = 0.
\]
提示：注意 $\varepsilon$ 的任意性，以及 $k$ 的选取依赖于 $\varepsilon$ 和固定的 $M$。
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