大连理工大学 2023年数学分析第0题
📝 题目
7．设 $\left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}$ 均不为零，且 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n}}{b_{n}}=1$ ，若级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收玫，级数 $\sum_{n=1}^{\infty} b_{n}$ 是否收敛，为什么？
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：理解问题条件
已知 $\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = 1$，且 $\sum a_n$ 收敛。问 $\sum b_n$ 是否一定收敛。
提示：注意极限为1只说明 $a_n$ 和 $b_n$ 趋于0的速度相同，但符号可能影响级数收敛性。
步骤 2/6
目标：分析极限含义
由 $\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = 1$ 可知，当 $n$ 充分大时，$a_n$ 与 $b_n$ 同号，且 $a_n \sim b_n$。但 $a_n \sim b_n$ 不能保证级数收敛性相同，因为比较判别法要求正项级数。
公式：$a_n \sim b_n$ 表示 $\lim \frac{a_n}{b_n}=1$
提示：比较判别法仅适用于正项级数，这里 $a_n, b_n$ 可能变号。
步骤 3/6
目标：构造反例思路
需要构造一个收敛的 $\sum a_n$ 和一个发散的 $\sum b_n$，满足 $\lim \frac{a_n}{b_n}=1$。考虑将 $b_n$ 写成 $a_n$ 加上一个发散级数的通项，且该通项相对于 $a_n$ 是更高阶的无穷小，以保证极限为1。
提示：注意 $a_n$ 本身收敛，加上一个发散的小量可能导致 $b_n$ 发散。
步骤 4/6
目标：选取具体反例
取 $a_n = \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}$，则 $\sum a_n$ 是交错级数，由莱布尼茨判别法知收敛。取 $b_n = \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}} + \frac{1}{n}$。则 $\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = \lim \frac{(-1)^n/\sqrt{n}}{(-1)^n/\sqrt{n} + 1/n} = \lim \frac{1}{1 + (-1)^n/\sqrt{n}} = 1$。
公式：$\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = 1$
提示：计算极限时注意 $(-1)^n$ 不影响极限，因为分母中 $1/n$ 是更高阶无穷小。
步骤 5/6
目标：验证反例的收敛性
$\sum b_n = \sum \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}} + \sum \frac{1}{n}$。其中 $\sum \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}$ 收敛（莱布尼茨），而 $\sum \frac{1}{n}$ 发散（调和级数）。收敛级数与发散级数的和发散，故 $\sum b_n$ 发散。
提示：注意：收敛+发散=发散。
步骤 6/6
目标：得出结论
因此，存在满足条件的 $\{a_n\}, \{b_n\}$ 使得 $\sum a_n$ 收敛而 $\sum b_n$ 发散，故 $\sum b_n$ 不一定收敛。
提示：反例说明极限为1不能保证级数收敛性相同。
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