大连理工大学 2023年数学分析第0题
📝 题目
1．设 $D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leq 1\right\}$ ，实数 $\alpha, \beta$ 满足 $\alpha^{2}+\beta^{2}<1$ ，计算二重积分
$$
\iint_{D} \frac{\mathrm{~d} x \mathrm{~d} y}{(1-\alpha x+\beta y)^{2}+(\beta x+\alpha y)^{2}}
$$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：化简被积函数分母
令 $u=x$, $v=y$，则积分区域 $D: u^2+v^2\le 1$。计算分母：
$$(1-\alpha u+\beta v)^2+(\beta u+\alpha v)^2 = 1 - 2\alpha u + 2\beta v + (\alpha^2+\beta^2)(u^2+v^2).$$
提示：注意展开时不要遗漏交叉项，合并同类项。
步骤 2/6
目标：正交变换简化表达式
令 $\rho = \sqrt{\alpha^2+\beta^2}<1$，作正交变换：
$$\begin{cases} u = x\cos\theta - y\sin\theta \\ v = x\sin\theta + y\cos\theta \end{cases},$$
其中 $\cos\theta = \frac{\alpha}{\rho}, \sin\theta = \frac{\beta}{\rho}$。则
$$\alpha u + \beta v = \rho x, \quad -\beta u + \alpha v = \rho y.$$
分母化为：
$$(1-\rho x)^2 + (\rho y)^2 = 1 - 2\rho x + \rho^2(x^2+y^2).$$
积分区域 $D$ 变为 $x^2+y^2\le 1$。
提示：正交变换保持区域形状，注意变换后分母形式简化。
步骤 3/6
目标：化为极坐标积分
作极坐标变换 $x=r\cos\phi, y=r\sin\phi$，则 $dxdy = r dr d\phi$，积分区域 $0\le r\le 1, 0\le\phi\le 2\pi$。积分化为：
$$I = \int_0^{2\pi} d\phi \int_0^1 \frac{r dr}{1 - 2\rho r\cos\phi + \rho^2 r^2}.$$
提示：注意极坐标变换的雅可比行列式为 $r$。
步骤 4/6
目标：计算内层对 $\phi$ 的积分
利用公式 $\int_0^{2\pi} \frac{d\phi}{1 - 2a\cos\phi + a^2} = \frac{2\pi}{1-a^2}$（$|a|<1$），这里 $a = \rho r$，且 $\rho r < 1$，所以
$$\int_0^{2\pi} \frac{d\phi}{1 - 2\rho r\cos\phi + \rho^2 r^2} = \frac{2\pi}{1-\rho^2 r^2}.$$
公式：$$\int_0^{2\pi} \frac{d\phi}{1 - 2a\cos\phi + a^2} = \frac{2\pi}{1-a^2}, \quad |a|<1$$
提示：该公式可通过复变函数或三角恒等式证明，注意 $|a|<1$ 的条件。
步骤 5/6
目标：计算外层对 $r$ 的积分
代入得：
$$I = \int_0^1 r \cdot \frac{2\pi}{1-\rho^2 r^2} dr = 2\pi \int_0^1 \frac{r dr}{1-\rho^2 r^2}.$$
计算积分：
$$\int_0^1 \frac{r dr}{1-\rho^2 r^2} = -\frac{1}{2\rho^2} \ln(1-\rho^2 r^2) \Big|_0^1 = -\frac{1}{2\rho^2} \ln(1-\rho^2).$$
因此
$$I = 2\pi \cdot \left(-\frac{1}{2\rho^2} \ln(1-\rho^2)\right) = \frac{\pi}{\rho^2} \ln\frac{1}{1-\rho^2}.$$
公式：$$\int \frac{r dr}{1-\rho^2 r^2} = -\frac{1}{2\rho^2} \ln|1-\rho^2 r^2| + C$$
提示：注意积分限代入时 $\ln(1)=0$，且 $1-\rho^2>0$。
步骤 6/6
目标：代回 $\rho$ 得到最终结果
由 $\rho^2 = \alpha^2+\beta^2$，得
$$I = \frac{\pi}{\alpha^2+\beta^2} \ln\frac{1}{1-\alpha^2-\beta^2}.$$
最终答案为：
$$\boxed{\dfrac{\pi}{\alpha^2+\beta^2}\ln\dfrac{1}{1-\alpha^2-\beta^2}}.$$
提示：注意 $\alpha^2+\beta^2<1$ 保证分母不为零且对数有意义。
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