大连理工大学 2023年数学分析第0题
📝 题目
3．计算 $f(x, y)=5 x^{2}+5 y^{2}-8 x y$ 在条件 $x^{2}+y^{2}-x y=75$ 下的最小值．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：构造拉格朗日函数
设目标函数 $f(x,y)=5x^2+5y^2-8xy$，约束条件 $g(x,y)=x^2+y^2-xy-75=0$。构造拉格朗日函数 $L(x,y,\lambda)=5x^2+5y^2-8xy+\lambda(x^2+y^2-xy-75)$。
公式：L(x,y,\lambda)=f(x,y)+\lambda g(x,y)
提示：注意约束条件要化为等于0的形式，且拉格朗日乘子λ的符号不影响结果。
步骤 2/7
目标：求偏导数并令为零
对 $L$ 分别求关于 $x$、$y$、$\lambda$ 的偏导数，并令其为零：
\[
\begin{cases}
\frac{\partial L}{\partial x}=10x-8y+\lambda(2x-y)=0 \\
\frac{\partial L}{\partial y}=10y-8x+\lambda(2y-x)=0 \\
\frac{\partial L}{\partial \lambda}=x^2+y^2-xy-75=0
\end{cases}
\]
提示：求偏导时注意链式法则，特别是λ乘以约束条件的偏导。
步骤 3/7
目标：整理前两个方程为线性方程组
将前两个方程按 $x$、$y$ 整理：
\[
\begin{cases}
(10+2\lambda)x + (-8-\lambda)y = 0 \\
(-8-\lambda)x + (10+2\lambda)y = 0
\end{cases}
\]
提示：注意合并同类项时系数的符号。
步骤 4/7
目标：利用齐次方程组有非零解的条件求λ
该齐次方程组有非零解，故系数矩阵行列式为零：
\[
\begin{vmatrix}
10+2\lambda & -8-\lambda \\
-8-\lambda & 10+2\lambda
\end{vmatrix}=0
\]
计算行列式：$(10+2\lambda)^2 - (-8-\lambda)^2 = 0$，即 $(10+2\lambda)^2 = (8+\lambda)^2$，所以 $10+2\lambda = \pm(8+\lambda)$。
公式：\det(A)=0
提示：注意平方根时取正负两种情况，不要遗漏。
步骤 5/7
目标：解出λ的两个值
情况1：$10+2\lambda = 8+\lambda \Rightarrow \lambda = -2$。
情况2：$10+2\lambda = -(8+\lambda) \Rightarrow 10+2\lambda = -8-\lambda \Rightarrow 3\lambda = -18 \Rightarrow \lambda = -6$。
提示：解方程时注意移项和符号。
步骤 6/7
目标：分别代入λ求x,y关系及候选点
当 $\lambda=-2$ 时，方程组化为 $6x-6y=0$，得 $x=y$。代入约束：$x^2+x^2-x^2=75 \Rightarrow x^2=75$，得 $x=\pm5\sqrt{3}$，$y=x$。
当 $\lambda=-6$ 时，方程组化为 $-2x-2y=0$，得 $x=-y$。代入约束：$x^2+(-x)^2 - x(-x)=3x^2=75 \Rightarrow x^2=25$，得 $x=\pm5$，$y=-x$。
提示：代入约束时注意计算准确，特别是符号。
步骤 7/7
目标：计算目标函数值并比较取最小值
对于 $\lambda=-2$ 的点：$f=5x^2+5x^2-8x^2=2x^2=2\times75=150$。
对于 $\lambda=-6$ 的点：$f=5x^2+5x^2-8x(-x)=10x^2+8x^2=18x^2=18\times25=450$。
比较得最小值为150。
提示：注意计算f时不要出错，特别是第二组中-8xy项。
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