大连理工大学 2023年数学分析第0题
📝 题目
4．设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续， $\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x=0$ ，求证：$\displaystyle \left(\int_{0}^{1} x f(x) \mathrm{d} x\right)^{2} \leq \frac{1}{12} \int_{0}^{1} f^{2}(x) \mathrm{d} x$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：利用条件简化积分
由已知条件 $\int_0^1 f(x) \, dx = 0$，考虑积分 $\int_0^1 (x - \frac12) f(x) \, dx$。计算得：
$$\int_0^1 (x - \frac12) f(x) \, dx = \int_0^1 x f(x) \, dx - \frac12 \int_0^1 f(x) \, dx = \int_0^1 x f(x) \, dx.$$
公式：$$\int_0^1 (x - \frac12) f(x) \, dx = \int_0^1 x f(x) \, dx$$
提示：注意利用 $\int_0^1 f(x) \, dx = 0$ 消去常数项。
步骤 2/5
目标：应用柯西-施瓦茨不等式
对函数 $x - \frac12$ 和 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上应用柯西-施瓦茨不等式：
$$\left(\int_0^1 (x - \frac12) f(x) \, dx\right)^2 \leq \int_0^1 (x - \frac12)^2 \, dx \cdot \int_0^1 f^2(x) \, dx.$$
公式：$$\left(\int_a^b u(x)v(x)\,dx\right)^2 \leq \int_a^b u^2(x)\,dx \int_a^b v^2(x)\,dx$$
提示：柯西-施瓦茨不等式要求函数平方可积，这里 $f(x)$ 连续，满足条件。
步骤 3/5
目标：计算系数积分
计算 $\int_0^1 (x - \frac12)^2 \, dx$：
$$\int_0^1 (x - \frac12)^2 \, dx = \int_0^1 (x^2 - x + \frac14) \, dx = \left[\frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + \frac{x}{4}\right]_0^1 = \frac13 - \frac12 + \frac14 = \frac{1}{12}.$$
公式：$$\int_0^1 (x - \frac12)^2 \, dx = \frac{1}{12}$$
提示：计算定积分时注意积分限和基本积分公式。
步骤 4/5
目标：代入得到不等式
将第一步和第三步的结果代入第二步的不等式：
$$\left(\int_0^1 x f(x) \, dx\right)^2 \leq \frac{1}{12} \int_0^1 f^2(x) \, dx.$$
提示：注意不等式方向，平方项非负。
步骤 5/5
目标：结论
因此，原不等式得证。
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