大连理工大学 2023年数学分析第0题
📝 题目
3．计算极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 1}\left(\frac{m}{1-x^{m}}-\frac{n}{1-x^{n}}\right)$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：通分合并
将两个分式通分，合并为一个分式：
$$\frac{m}{1-x^m} - \frac{n}{1-x^n} = \frac{m(1-x^n) - n(1-x^m)}{(1-x^m)(1-x^n)}$$
提示：注意通分时分子要正确展开，避免符号错误。
步骤 2/6
目标：分子化简
展开分子：
$$m(1-x^n) - n(1-x^m) = m - m x^n - n + n x^m = (m-n) + n x^m - m x^n$$
提示：合并同类项时注意符号。
步骤 3/6
目标：变量代换
令 $t = x - 1$，则 $x = 1 + t$，当 $x \to 1$ 时 $t \to 0$。代入得：
$$\frac{(m-n) + n(1+t)^m - m(1+t)^n}{(1-(1+t)^m)(1-(1+t)^n)}$$
提示：代换后注意分母和分子的形式变化。
步骤 4/6
目标：泰勒展开
利用 $(1+t)^k = 1 + k t + \frac{k(k-1)}{2} t^2 + o(t^2)$ 展开分子分母：
分子：$(m-n) + n[1 + m t + \frac{m(m-1)}{2} t^2] - m[1 + n t + \frac{n(n-1)}{2} t^2] + o(t^2)$
化简得：$(m-n) + n + n m t + n\frac{m(m-1)}{2} t^2 - m - m n t - m\frac{n(n-1)}{2} t^2 + o(t^2)$
由于 $(m-n) + n - m = 0$，且 $n m t - m n t = 0$，所以分子为：
$$\left[ n\frac{m(m-1)}{2} - m\frac{n(n-1)}{2} \right] t^2 + o(t^2) = \frac{mn(m-1 - n + 1)}{2} t^2 + o(t^2) = \frac{mn(m-n)}{2} t^2 + o(t^2)$$
公式：$(1+t)^k = 1 + k t + \frac{k(k-1)}{2} t^2 + o(t^2)$
提示：展开时注意保留到 $t^2$ 项，因为分子中常数项和 $t$ 项抵消。
步骤 5/6
目标：分母展开
分母：$(1-(1+t)^m)(1-(1+t)^n) = \left[ -m t - \frac{m(m-1)}{2} t^2 + o(t^2) \right] \left[ -n t - \frac{n(n-1)}{2} t^2 + o(t^2) \right]$
展开得：$m n t^2 + o(t^2)$（因为 $t^2$ 项来自 $(-m t)(-n t)$，其他项阶数更高）。
提示：注意分母展开后最低阶为 $t^2$，且系数为 $mn$。
步骤 6/6
目标：求极限
因此，原极限为：
$$\lim_{t \to 0} \frac{\frac{mn(m-n)}{2} t^2 + o(t^2)}{m n t^2 + o(t^2)} = \frac{mn(m-n)/2}{mn} = \frac{m-n}{2}$$
提示：注意 $t^2$ 项系数相除时 $mn$ 约去。
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