大连理工大学 2023年数学分析第0题
📝 题目
9．求证下列函数在 $\mathbb{R}$ 上连续可导．
$$
f(x)= \begin{cases}e^{\frac{1}{x}}, & x<0 \\ x^{2}, & x \geq 0\end{cases}
$$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：分析函数定义域与分段点
函数 $f(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上定义，分段点为 $x=0$。需要验证在 $x=0$ 处的连续性和可导性，并说明在其他点处可导。
提示：注意分段函数的关键在于分段点处的处理。
步骤 2/8
目标：验证连续性：左极限
计算左极限：$\lim_{x\to 0^-} f(x) = \lim_{x\to 0^-} e^{1/x}$。由于 $x\to 0^-$ 时 $1/x \to -\infty$，故 $e^{1/x} \to 0$，所以左极限为 $0$。
公式：$\lim_{t\to -\infty} e^t = 0$
提示：注意指数函数在负无穷时的极限为0。
步骤 3/8
目标：验证连续性：右极限与函数值
计算右极限：$\lim_{x\to 0^+} f(x) = \lim_{x\to 0^+} x^2 = 0$。函数值 $f(0)=0^2=0$。左右极限相等且等于函数值，故 $f$ 在 $x=0$ 连续。
提示：分段点处必须检查左右极限与函数值是否相等。
步骤 4/8
目标：计算导数表达式（非分段点）
当 $x<0$ 时，$f'(x) = e^{1/x} \cdot (-1/x^2) = -\frac{e^{1/x}}{x^2}$。当 $x>0$ 时，$f'(x)=2x$。
公式：$(e^{g(x)})' = e^{g(x)} g'(x)$
提示：注意复合函数求导法则，$1/x$ 的导数为 $-1/x^2$。
步骤 5/8
目标：验证可导性：左导数
左导数：$f'_-(0) = \lim_{h\to 0^-} \frac{f(0+h)-f(0)}{h} = \lim_{h\to 0^-} \frac{e^{1/h}}{h}$。令 $t=1/h$，则 $t\to -\infty$，极限化为 $\lim_{t\to -\infty} \frac{e^t}{1/t} = \lim_{t\to -\infty} t e^t = 0$。
公式：$\lim_{t\to -\infty} t e^t = 0$
提示：换元后注意极限方向，$t\to -\infty$，$t e^t$ 是 $0$ 乘 $\infty$ 型，可用已知极限或洛必达法则。
步骤 6/8
目标：验证可导性：右导数
右导数：$f'_+(0) = \lim_{h\to 0^+} \frac{h^2-0}{h} = \lim_{h\to 0^+} h = 0$。左右导数相等，故 $f'(0)=0$。
提示：右导数直接代入函数表达式计算即可。
步骤 7/8
目标：验证导数的连续性
当 $x<0$ 时 $f'(x)$ 连续，当 $x>0$ 时 $f'(x)$ 连续。在 $x=0$ 处：$\lim_{x\to 0^-} f'(x) = \lim_{x\to 0^-} -\frac{e^{1/x}}{x^2} = 0$（因为 $e^{1/x}\to 0$ 速度快于 $x^2$），$\lim_{x\to 0^+} f'(x) = \lim_{x\to 0^+} 2x = 0$，均等于 $f'(0)=0$，故 $f'$ 在 $x=0$ 连续。
提示：验证导数连续时，需计算导函数在分段点处的极限。
步骤 8/8
目标：总结结论
函数 $f(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续，且导数存在且连续，因此 $f(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续可导。
提示：连续可导即函数属于 $C^1(\mathbb{R})$。
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