大连理工大学 2023年数学分析第0题
📝 题目
6．设 $f(x)$ 连续，$\displaystyle g(x)=\frac{1}{n!} \int_{a}^{x}(x-t)^{n} f(t) \mathrm{d} t$ ，计算 $g^{(n+1)}(x)$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：写出g(x)的表达式并求一阶导数
给定 $g(x)=\frac{1}{n!} \int_a^x (x-t)^n f(t) \, dt$。利用含参积分求导公式（莱布尼茨法则）：
$$g'(x)=\frac{1}{n!}\left[(x-x)^n f(x)\cdot 1 + \int_a^x \frac{\partial}{\partial x}(x-t)^n f(t) \, dt\right] = \frac{1}{n!}\int_a^x n (x-t)^{n-1} f(t) \, dt = \frac{1}{(n-1)!}\int_a^x (x-t)^{n-1} f(t) \, dt.$$
公式：莱布尼茨法则：$\frac{d}{dx}\int_{a(x)}^{b(x)} F(x,t) dt = F(x,b(x))b'(x) - F(x,a(x))a'(x) + \int_{a(x)}^{b(x)} \frac{\partial}{\partial x}F(x,t) dt$
提示：注意上限x代入时$(x-x)^n=0$，所以第一项为零，不要遗漏积分内求导后的因子n。
步骤 2/5
目标：求二阶导数
对 $g'(x)$ 再次求导：
$$g''(x)=\frac{1}{(n-1)!}\int_a^x (n-1)(x-t)^{n-2} f(t) \, dt = \frac{1}{(n-2)!}\int_a^x (x-t)^{n-2} f(t) \, dt.$$
公式：同上莱布尼茨法则
提示：注意每次求导后阶乘和指数同步减少1。
步骤 3/5
目标：归纳求导至n阶
重复求导过程，每求一次导，积分内的幂次减少1，阶乘也减少1。经过n次求导后，得到：
$$g^{(n)}(x)=\frac{1}{0!}\int_a^x (x-t)^0 f(t) \, dt = \int_a^x f(t) \, dt.$$
公式：归纳可得 $g^{(k)}(x)=\frac{1}{(n-k)!}\int_a^x (x-t)^{n-k} f(t) dt$ 对于 $k=1,\dots,n$
提示：注意 $0! = 1$，$(x-t)^0=1$。
步骤 4/5
目标：求第n+1阶导数
对 $g^{(n)}(x)=\int_a^x f(t) \, dt$ 再求一次导，由微积分基本定理得：
$$g^{(n+1)}(x)=f(x).$$
公式：微积分基本定理：$\frac{d}{dx}\int_a^x f(t) dt = f(x)$
提示：注意这里积分下限是常数a，上限是x，直接求导得被积函数在x处的值。
步骤 5/5
目标：总结结果
因此，$g^{(n+1)}(x)=f(x)$。
提示：最终结果简洁，注意不要遗漏阶乘的倒数。
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