大连理工大学 2023年数学分析第0题
📝 题目
5．求证：方程 $\displaystyle x=\int_{0}^{y} \frac{\mathrm{~d} t}{\sqrt{1-t^{4}}}$ 在 $x=0$ 的邻域内确定了连续可微函数 $y=y(x)$ ，满足
$$
y^{\prime}(x)=\sqrt{1-y^{4}(x)}
$$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：定义函数并验证初始条件
令 $F(x, y) = x - \int_0^y \frac{dt}{\sqrt{1-t^4}}$。则方程 $F(x, y)=0$ 在 $(0,0)$ 处成立，因为 $\int_0^0 \frac{dt}{\sqrt{1-t^4}} = 0$。
公式：$F(x,y)=x-\int_0^y \frac{dt}{\sqrt{1-t^4}}$
提示：注意积分下限为0，上限为y，当y=0时积分为0。
步骤 2/6
目标：验证隐函数定理条件
计算偏导数：$\frac{\partial F}{\partial x}=1$，$\frac{\partial F}{\partial y}=-\frac{1}{\sqrt{1-y^4}}$。在点$(0,0)$处，$\frac{\partial F}{\partial y}(0,0)=-1\neq0$。因此满足隐函数定理条件。
公式：$\frac{\partial F}{\partial y}=-\frac{1}{\sqrt{1-y^4}}$
提示：注意$\frac{\partial F}{\partial y}$在y=0处非零，且分母不为零。
步骤 3/6
目标：应用隐函数定理
由隐函数定理，存在$x=0$的邻域，在该邻域内方程唯一确定连续可微函数$y=y(x)$，且满足$y(0)=0$。
提示：隐函数定理保证存在性和唯一性，但邻域大小需注意。
步骤 4/6
目标：对原方程两边求导
对等式$x = \int_0^{y(x)} \frac{dt}{\sqrt{1-t^4}}$两边关于$x$求导。左边导数为1，右边利用莱布尼茨法则：$\frac{d}{dx}\int_0^{y(x)} f(t)dt = f(y(x)) \cdot y'(x)$，其中$f(t)=\frac{1}{\sqrt{1-t^4}}$。
公式：$\frac{d}{dx}\int_0^{y(x)} f(t)dt = f(y(x)) y'(x)$
提示：注意积分上限是函数，需使用莱布尼茨法则。
步骤 5/6
目标：得到导数表达式
求导得：$1 = \frac{1}{\sqrt{1-y^4(x)}} \cdot y'(x)$。整理得$y'(x) = \sqrt{1-y^4(x)}$。
公式：$y'(x)=\sqrt{1-y^4(x)}$
提示：注意开方后取正，因为$\sqrt{1-y^4}>0$。
步骤 6/6
目标：总结结论
因此，方程在$x=0$的邻域内确定了连续可微函数$y=y(x)$，满足$y'(x)=\sqrt{1-y^4(x)}$。
提示：最终结果需明确函数满足的微分方程。
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