大连理工大学 2023年数学分析第0题
📝 题目
2．利用变换 $u=x+e^{y}, v=x-e^{y}$ 求解微分方程 $\displaystyle e^{2 y} \frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}-\frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}+\frac{\partial z}{\partial y}=0$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：变量代换
令 $u = x + e^y$, $v = x - e^y$，则反解出 $x = \frac{u+v}{2}$, $e^y = \frac{u-v}{2}$。
公式：$u = x + e^y$, $v = x - e^y$
提示：注意 $e^y$ 是正数，$u$ 和 $v$ 是独立变量。
步骤 2/8
目标：计算一阶偏导数
利用链式法则：
$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial z}{\partial u} \cdot \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial z}{\partial v} \cdot \frac{\partial v}{\partial x} = z_u + z_v$。
$\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial z}{\partial u} \cdot \frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial z}{\partial v} \cdot \frac{\partial v}{\partial y} = z_u e^y - z_v e^y = e^y (z_u - z_v)$。
公式：$\frac{\partial z}{\partial x} = z_u + z_v$, $\frac{\partial z}{\partial y} = e^y(z_u - z_v)$
提示：注意 $\frac{\partial u}{\partial y} = e^y$, $\frac{\partial v}{\partial y} = -e^y$。
步骤 3/8
目标：计算二阶偏导数 $\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}$
对 $\frac{\partial z}{\partial x} = z_u + z_v$ 再求 $x$ 的偏导：
$\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x}(z_u + z_v) = (z_{uu} + z_{uv}) + (z_{vu} + z_{vv}) = z_{uu} + 2z_{uv} + z_{vv}$。
公式：$\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = z_{uu} + 2z_{uv} + z_{vv}$
提示：注意混合偏导 $z_{uv} = z_{vu}$。
步骤 4/8
目标：计算二阶偏导数 $\frac{\partial^2 z}{\partial y^2}$
对 $\frac{\partial z}{\partial y} = e^y(z_u - z_v)$ 再求 $y$ 的偏导：
$\frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = e^y(z_u - z_v) + e^y \frac{\partial}{\partial y}(z_u - z_v)$。
其中 $\frac{\partial}{\partial y}z_u = z_{uu} e^y + z_{uv}(-e^y) = e^y(z_{uu} - z_{uv})$，
$\frac{\partial}{\partial y}z_v = z_{vu} e^y + z_{vv}(-e^y) = e^y(z_{vu} - z_{vv})$，
所以 $\frac{\partial}{\partial y}(z_u - z_v) = e^y(z_{uu} - 2z_{uv} + z_{vv})$。
因此 $\frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = e^y(z_u - z_v) + e^{2y}(z_{uu} - 2z_{uv} + z_{vv})$。
公式：$\frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = e^y(z_u - z_v) + e^{2y}(z_{uu} - 2z_{uv} + z_{vv})$
提示：注意对 $z_u$ 和 $z_v$ 求 $y$ 偏导时，$u$ 和 $v$ 都依赖于 $y$。
步骤 5/8
目标：代入原方程并化简
原方程：$e^{2y} \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} - \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} + \frac{\partial z}{\partial y} = 0$。
代入得：
$e^{2y}(z_{uu} + 2z_{uv} + z_{vv}) - [e^y(z_u - z_v) + e^{2y}(z_{uu} - 2z_{uv} + z_{vv})] + e^y(z_u - z_v) = 0$。
化简：$e^{2y}(z_{uu} + 2z_{uv} + z_{vv} - z_{uu} + 2z_{uv} - z_{vv}) - e^y(z_u - z_v) + e^y(z_u - z_v) = e^{2y} \cdot 4z_{uv} = 0$。
公式：$4e^{2y} z_{uv} = 0$
提示：注意 $e^y(z_u - z_v)$ 项抵消。
步骤 6/8
目标：得到简化方程
由于 $e^{2y} \neq 0$，所以 $z_{uv} = 0$。
公式：$z_{uv} = 0$
提示：这是混合偏导为零的方程。
步骤 7/8
目标：求解 $z_{uv}=0$
积分 $z_{uv}=0$ 得 $z_u = \phi(u)$，再积分得 $z = \int \phi(u) du + \psi(v) = f(u) + g(v)$，其中 $f, g$ 为任意二次可微函数。
公式：$z = f(u) + g(v)$
提示：注意积分时，对 $u$ 积分常数是 $v$ 的函数。
步骤 8/8
目标：代回原变量
将 $u = x + e^y$, $v = x - e^y$ 代入得 $z = f(x + e^y) + g(x - e^y)$。
公式：$z = f(x + e^y) + g(x - e^y)$
提示：最终解的形式。
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