大连理工大学 2023年数学分析第0题
📝 题目
10．设 $f(x)$ 在 $[1,+\infty)$ 上连续可微，$\left|f^{\prime}(x)\right| \leq 1(x \geq 1)$ ，求证：$\displaystyle \frac{f(x)}{x}$ 在 $[1,+\infty)$ 上一致连续．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：明确要证明的结论
要证 $\frac{f(x)}{x}$ 在 $[1,+\infty)$ 上一致连续，即对任意 $\varepsilon>0$，存在 $\delta>0$，使得对任意 $x_1,x_2\in[1,+\infty)$，当 $|x_1-x_2|<\delta$ 时，有 $\left|\frac{f(x_1)}{x_1}-\frac{f(x_2)}{x_2}\right|<\varepsilon$。
提示：注意一致连续的定义：$\delta$ 只依赖于 $\varepsilon$，不依赖于 $x_1,x_2$。
步骤 2/6
目标：利用导数条件估计函数值增长
由 $|f'(x)|\leq 1$，对任意 $x\geq 1$，有 $|f(x)-f(1)|\leq |x-1|$，故 $|f(x)|\leq |f(1)|+x-1$。
公式：$|f(x)-f(1)|\leq |x-1|$
提示：这里使用了拉格朗日中值定理：$|f(x)-f(1)|=|f'(\xi)|(x-1)\leq x-1$。
步骤 3/6
目标：将差值分解为两部分
考虑 $\left|\frac{f(x_1)}{x_1}-\frac{f(x_2)}{x_2}\right| = \left|\frac{x_2 f(x_1)-x_1 f(x_2)}{x_1 x_2}\right|$。不妨设 $x_1\leq x_2$，则
\[
\left|\frac{f(x_1)}{x_1}-\frac{f(x_2)}{x_2}\right| \leq \left|\frac{f(x_1)}{x_1}-\frac{f(x_2)}{x_1}\right| + \left|\frac{f(x_2)}{x_1}-\frac{f(x_2)}{x_2}\right| = \frac{|f(x_1)-f(x_2)|}{x_1} + |f(x_2)|\left|\frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_2}\right|.
\]
提示：添加中间项 $\frac{f(x_2)}{x_1}$ 进行三角不等式放缩。
步骤 4/6
目标：分别估计两项
由中值定理，$|f(x_1)-f(x_2)| = |f'(\xi)|(x_2-x_1) \leq x_2-x_1$。又 $|f(x_2)|\leq |f(1)|+x_2-1$，且 $\left|\frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_2}\right| = \frac{x_2-x_1}{x_1 x_2}$。代入得
\[
\left|\frac{f(x_1)}{x_1}-\frac{f(x_2)}{x_2}\right| \leq \frac{x_2-x_1}{x_1} + (|f(1)|+x_2-1)\frac{x_2-x_1}{x_1 x_2} = (x_2-x_1)\left(\frac{1}{x_1}+\frac{|f(1)|+x_2-1}{x_1 x_2}\right).
\]
公式：$|f(x_1)-f(x_2)|\leq x_2-x_1$
提示：注意中值定理要求 $f$ 可微，这里条件满足。
步骤 5/6
目标：进一步放缩得到与 $x_1,x_2$ 无关的常数
由于 $x_1\geq 1$，$x_2\geq 1$，有 $\frac{1}{x_1}\leq 1$，$\frac{|f(1)|+x_2-1}{x_1 x_2}\leq \frac{|f(1)|+x_2-1}{x_2}\leq |f(1)|+1$（因为 $\frac{x_2-1}{x_2}\leq 1$）。故
\[
\left|\frac{f(x_1)}{x_1}-\frac{f(x_2)}{x_2}\right| \leq (x_2-x_1)(1+|f(1)|+1) = (x_2-x_1)(|f(1)|+2).
\]
提示：注意 $\frac{x_2-1}{x_2}\leq 1$ 是因为 $x_2\geq 1$。
步骤 6/6
目标：选取 $\delta$ 并完成证明
取 $\delta = \frac{\varepsilon}{|f(1)|+2}$，则当 $|x_1-x_2|<\delta$ 时，有 $\left|\frac{f(x_1)}{x_1}-\frac{f(x_2)}{x_2}\right| < \varepsilon$。因此 $\frac{f(x)}{x}$ 在 $[1,+\infty)$ 上一致连续。
提示：注意 $\delta$ 的选取依赖于 $f(1)$，但 $f(1)$ 是常数，所以 $\delta$ 只依赖于 $\varepsilon$。
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