大连理工大学 2023年数学分析第0题
📝 题目
2．证明无穷积分 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\sin x}{x} \mathrm{~d} x$ 收敛。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：将积分分解为两部分
由于被积函数在 $x=0$ 处有可去奇点（$\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x}=1$），因此 $\int_0^1 \frac{\sin x}{x} dx$ 是正常积分，只需证明 $\int_1^{+\infty} \frac{\sin x}{x} dx$ 收敛。
提示：注意 $x=0$ 不是瑕点，因为极限存在。
步骤 2/5
目标：应用狄利克雷判别法
令 $f(x)=\frac{1}{x}$，$g(x)=\sin x$。则 $f(x)$ 在 $[1,+\infty)$ 上单调递减且 $\lim_{x\to+\infty} f(x)=0$；而 $\int_1^A \sin x dx = \cos 1 - \cos A$，其绝对值不超过 $2$，即 $\int_1^A \sin x dx$ 有界。由狄利克雷判别法，$\int_1^{+\infty} f(x)g(x) dx$ 收敛。
公式：狄利克雷判别法：若 $f(x)$ 单调趋于 $0$，$\int_a^A g(x)dx$ 有界，则 $\int_a^{+\infty} f(x)g(x)dx$ 收敛。
提示：确保 $f(x)$ 单调且趋于 $0$，$g(x)$ 的原函数有界。
步骤 3/5
目标：使用分部积分法（备选方法）
对任意 $A>1$，有
$$
\int_1^A \frac{\sin x}{x} dx = \left[-\frac{\cos x}{x}\right]_1^A - \int_1^A \frac{\cos x}{x^2} dx = \frac{\cos 1}{1} - \frac{\cos A}{A} - \int_1^A \frac{\cos x}{x^2} dx.
$$
当 $A\to+\infty$ 时，$\frac{\cos A}{A}\to 0$。
公式：分部积分公式：$\int u dv = uv - \int v du$，取 $u=1/x$，$dv=\sin x dx$。
提示：注意分部积分后产生的积分要能处理。
步骤 4/5
目标：证明余项积分绝对收敛
由于 $\left|\frac{\cos x}{x^2}\right| \leq \frac{1}{x^2}$，而 $\int_1^{+\infty} \frac{1}{x^2} dx$ 收敛，故 $\int_1^{+\infty} \frac{\cos x}{x^2} dx$ 绝对收敛。因此 $\int_1^{+\infty} \frac{\sin x}{x} dx$ 收敛。
公式：比较判别法：若 $|f(x)|\leq g(x)$ 且 $\int g$ 收敛，则 $\int f$ 绝对收敛。
提示：绝对收敛蕴含收敛。
步骤 5/5
目标：综合结论
由以上，$\int_1^{+\infty} \frac{\sin x}{x} dx$ 收敛，加上 $\int_0^1 \frac{\sin x}{x} dx$ 为正常积分，故原无穷积分 $\int_0^{+\infty} \frac{\sin x}{x} dx$ 收敛。
提示：注意积分限从0开始，需处理0点。
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