大连理工大学 2023年数学分析第0题
📝 题目
2．设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上有二阶导数，且 $f(0)=f(1)=0$ ，若 $\min _{x \in[0,1]} f(x)=-1$ ．证明：存在 $\xi \in(0,1)$ ，使得 $f^{\prime \prime}(\xi) \geq 8$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：确定最小值点及其性质
由于 $f(x)$ 在闭区间 $[0,1]$ 上连续，且 $f(0)=f(1)=0$，最小值 $-1$ 在内部某点取得。设 $x_0\in(0,1)$ 使得 $f(x_0)=-1$。由费马定理，在极值点处导数存在且为零，故 $f'(x_0)=0$。
公式：费马定理：若 $f$ 在 $x_0$ 处可导且取极值，则 $f'(x_0)=0$
提示：注意最小值点可能在边界，但由 $f(0)=f(1)=0$ 且最小值为 $-1$，最小值点必在内部。
步骤 2/5
目标：在最小值点处应用泰勒公式
将 $f(0)$ 和 $f(1)$ 在 $x_0$ 处展开为带拉格朗日余项的一阶泰勒公式：
$$f(0)=f(x_0)+f'(x_0)(0-x_0)+\frac{1}{2}f''(\xi_1)(0-x_0)^2, \quad \xi_1\in(0,x_0)$$
$$f(1)=f(x_0)+f'(x_0)(1-x_0)+\frac{1}{2}f''(\xi_2)(1-x_0)^2, \quad \xi_2\in(x_0,1)$$
公式：泰勒公式：$f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{1}{2}f''(\xi)(x-x_0)^2$
提示：注意展开点 $x_0$ 在 $(0,1)$ 内，两个展开式分别对应左端点和右端点，余项中的 $\xi$ 介于 $x_0$ 与展开点之间。
步骤 3/5
目标：代入已知条件化简
代入 $f(0)=f(1)=0$，$f(x_0)=-1$，$f'(x_0)=0$ 得：
$$0=-1+\frac{1}{2}f''(\xi_1)x_0^2 \Rightarrow f''(\xi_1)=\frac{2}{x_0^2}$$
$$0=-1+\frac{1}{2}f''(\xi_2)(1-x_0)^2 \Rightarrow f''(\xi_2)=\frac{2}{(1-x_0)^2}$$
提示：注意符号：$(0-x_0)^2 = x_0^2$，$(1-x_0)^2$ 不变。
步骤 4/5
目标：分析 $x_0$ 的范围
由于 $x_0\in(0,1)$，考虑两种情况：
- 若 $x_0\leq \frac{1}{2}$，则 $x_0^2\leq \frac{1}{4}$，从而 $\frac{2}{x_0^2}\geq 8$，即 $f''(\xi_1)\geq 8$。
- 若 $x_0>\frac{1}{2}$，则 $1-x_0<\frac{1}{2}$，$(1-x_0)^2\leq \frac{1}{4}$，从而 $\frac{2}{(1-x_0)^2}\geq 8$，即 $f''(\xi_2)\geq 8$。
公式：不等式：$x_0\leq 1/2 \Rightarrow 1/x_0^2 \geq 4$
提示：注意 $x_0$ 与 $1-x_0$ 的对称性，分类讨论时不要遗漏。
步骤 5/5
目标：得出结论
无论哪种情况，都存在一个 $\xi\in(0,1)$（$\xi_1$ 或 $\xi_2$）使得 $f''(\xi)\geq 8$。证毕。
提示：结论中的 $\xi$ 不一定唯一，只需存在性。
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