大连理工大学 2023年数学分析第0题
📝 题目
5．设 $\left\{b_{n}\right\}$ 是正的严格递增数列，且 $\lim _{n \rightarrow \infty} b_{n}=+\infty$ ，求证：$\displaystyle \varlimsup_{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n}}{b_{n}} \leq \varlimsup_{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n}-a_{n-1}}{b_{n}-b_{n-1}}$ ．这里假设右侧的上极限存在．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：设定上极限并引入任意正数
设 $\displaystyle \varlimsup_{n \to \infty} \frac{a_n - a_{n-1}}{b_n - b_{n-1}} = L$（$L$ 可为 $+\infty$）。对任意 $\varepsilon > 0$，根据上极限的定义，存在 $N$，使得当 $n > N$ 时，有
\[
\frac{a_n - a_{n-1}}{b_n - b_{n-1}} < L + \varepsilon.
\]
公式：\varlimsup_{n \to \infty} \frac{a_n - a_{n-1}}{b_n - b_{n-1}} = L
提示：注意上极限的定义：对于任意 $\varepsilon>0$，存在 $N$ 使得对所有 $n>N$ 有 $x_n < L+\varepsilon$，但 $x_n$ 可能无限次接近 $L$。
步骤 2/5
目标：利用递推关系累加不等式
由于 $b_n$ 严格递增且趋于 $+\infty$，对 $n > N$，将不等式从 $k=N+1$ 到 $n$ 累加，得
\[
a_n - a_N = \sum_{k=N+1}^n (a_k - a_{k-1}) < (L+\varepsilon) \sum_{k=N+1}^n (b_k - b_{k-1}) = (L+\varepsilon)(b_n - b_N).
\]
公式：a_n - a_N < (L+\varepsilon)(b_n - b_N)
提示：注意 $b_n$ 严格递增保证 $b_k - b_{k-1} > 0$，因此累加时不等号方向不变。
步骤 3/5
目标：变形得到 $a_n/b_n$ 的上界
由 $a_n - a_N < (L+\varepsilon)(b_n - b_N)$ 可得
\[
a_n < a_N + (L+\varepsilon)(b_n - b_N).
\]
两边除以 $b_n > 0$，得
\[
\frac{a_n}{b_n} < \frac{a_N}{b_n} + (L+\varepsilon)\left(1 - \frac{b_N}{b_n}\right).
\]
公式：\frac{a_n}{b_n} < \frac{a_N}{b_n} + (L+\varepsilon)\left(1 - \frac{b_N}{b_n}\right)
提示：注意 $b_n > 0$，所以除以 $b_n$ 不改变不等号方向。
步骤 4/5
目标：取上极限并令 $n \to \infty$
令 $n \to \infty$，由于 $b_n \to +\infty$，有 $\frac{a_N}{b_n} \to 0$ 且 $\frac{b_N}{b_n} \to 0$，因此
\[
\limsup_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} \leq \limsup_{n \to \infty} \left[ \frac{a_N}{b_n} + (L+\varepsilon)\left(1 - \frac{b_N}{b_n}\right) \right] = L+\varepsilon.
\]
公式：\limsup_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} \leq L+\varepsilon
提示：上极限具有次可加性：$\limsup (x_n+y_n) \leq \limsup x_n + \limsup y_n$，但这里直接利用极限的线性性质更简单。
步骤 5/5
目标：由 $\varepsilon$ 的任意性得出结论
由于 $\varepsilon > 0$ 是任意的，令 $\varepsilon \to 0^+$，得
\[
\varlimsup_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} \leq L.
\]
即
\[
\varlimsup_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} \leq \varlimsup_{n \to \infty} \frac{a_n - a_{n-1}}{b_n - b_{n-1}}.
\]
公式：\varlimsup_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} \leq \varlimsup_{n \to \infty} \frac{a_n - a_{n-1}}{b_n - b_{n-1}}
提示：注意 $L$ 可能为 $+\infty$，此时不等式自然成立。
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