太原理工大学 2026年数学分析第1题
📝 题目
1．求极限
$$
\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{\sin \frac{\pi}{n}}{n+2026}+\frac{\sin \frac{2 \pi}{n}}{n+\frac{2026}{2}}+\cdots+\frac{\sin \frac{n \pi}{n}}{n+\frac{2026}{n}}\right) .
$$
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：写出极限表达式并分析结构
考虑极限
\[
L = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n \frac{\sin\frac{k\pi}{n}}{n + \frac{2026}{k}}.
\]
这是一个和式的极限，分母中有一项依赖于 $k$ 的 $\frac{2026}{k}$，而分子是 $\sin\frac{k\pi}{n}$。
提示：注意求和指标 $k$ 从1到 $n$，分母中的 $\frac{2026}{k}$ 随 $k$ 变化，不能直接提取到求和号外。
步骤 2/6
目标：使用夹逼定理，构造上下界
对于每个 $k$，由于 $1 \leq k \leq n$，有 $\frac{2026}{k} \leq 2026$，因此
\[
n \leq n + \frac{2026}{k} \leq n + 2026.
\]
因为 $\sin\frac{k\pi}{n} \geq 0$（当 $k=1,\dots,n$ 时，$\frac{k\pi}{n} \in (0,\pi]$，正弦非负），所以
\[
\frac{\sin\frac{k\pi}{n}}{n+2026} \leq \frac{\sin\frac{k\pi}{n}}{n+\frac{2026}{k}} \leq \frac{\sin\frac{k\pi}{n}}{n}.
\]
求和得
\[
\frac{1}{n+2026} \sum_{k=1}^n \sin\frac{k\pi}{n} \leq \sum_{k=1}^n \frac{\sin\frac{k\pi}{n}}{n+\frac{2026}{k}} \leq \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \sin\frac{k\pi}{n}.
\]
公式：夹逼定理：若 $a_n \leq b_n \leq c_n$ 且 $\lim a_n = \lim c_n = L$，则 $\lim b_n = L$。
提示：注意 $\sin\frac{k\pi}{n}$ 的非负性，否则不等式方向可能改变。
步骤 3/6
目标：计算正弦和 $\sum_{k=1}^n \sin\frac{k\pi}{n}$
利用三角恒等式
\[
\sum_{k=1}^n \sin(k\theta) = \frac{\sin\frac{n\theta}{2} \sin\frac{(n+1)\theta}{2}}{\sin\frac{\theta}{2}},
\]
取 $\theta = \frac{\pi}{n}$，得
\[
\sum_{k=1}^n \sin\frac{k\pi}{n} = \frac{\sin\frac{\pi}{2} \sin\frac{(n+1)\pi}{2n}}{\sin\frac{\pi}{2n}} = \frac{1 \cdot \sin\left(\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2n}\right)}{\sin\frac{\pi}{2n}} = \frac{\cos\frac{\pi}{2n}}{\sin\frac{\pi}{2n}} = \cot\frac{\pi}{2n}.
\]
公式：$\sum_{k=1}^n \sin(k\theta) = \frac{\sin\frac{n\theta}{2} \sin\frac{(n+1)\theta}{2}}{\sin\frac{\theta}{2}}$
提示：注意 $\sin\left(\frac{\pi}{2}+x\right)=\cos x$，以及 $\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}$。
步骤 4/6
目标：代入上下界，得到夹逼表达式
将正弦和的结果代入上下界，得到
\[
\frac{1}{n+2026} \cot\frac{\pi}{2n} \leq \sum_{k=1}^n \frac{\sin\frac{k\pi}{n}}{n+\frac{2026}{k}} \leq \frac{1}{n} \cot\frac{\pi}{2n}.
\]
提示：注意上下界都是 $n$ 的函数，需要分别求极限。
步骤 5/6
目标：求上下界的极限
当 $n \to \infty$ 时，$\frac{\pi}{2n} \to 0$，利用等价无穷小：$\cot x \sim \frac{1}{x}$（$x \to 0$），因此
\[
\cot\frac{\pi}{2n} \sim \frac{2n}{\pi}.
\]
于是
\[
\frac{1}{n+2026} \cot\frac{\pi}{2n} \sim \frac{1}{n+2026} \cdot \frac{2n}{\pi} \to \frac{2}{\pi}, \quad \frac{1}{n} \cot\frac{\pi}{2n} \sim \frac{1}{n} \cdot \frac{2n}{\pi} = \frac{2}{\pi}.
\]
因此上下界的极限均为 $\frac{2}{\pi}$。
公式：$\cot x \sim \frac{1}{x}$ 当 $x \to 0$
提示：注意 $\frac{1}{n+2026} \cdot \frac{2n}{\pi} = \frac{2}{\pi} \cdot \frac{n}{n+2026} \to \frac{2}{\pi}$，不要误以为极限是0。
步骤 6/6
目标：由夹逼定理得出原极限
由于上下界极限均为 $\frac{2}{\pi}$，由夹逼定理，原极限也为 $\frac{2}{\pi}$。因此
\[
\boxed{\frac{2}{\pi}}.
\]
公式：夹逼定理
提示：确认夹逼条件满足：下界 ≤ 原式 ≤ 上界，且上下界极限相等。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。