太原理工大学 2026年数学分析第2题
📝 题目
2．求极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\tan (\tan x)-\sin (\sin x)}{x^{2} \arctan 2 x}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：化简分母
当 $x \to 0$ 时，$\arctan(2x) \sim 2x$，因此分母 $x^2 \arctan(2x) \sim x^2 \cdot 2x = 2x^3$。原极限化为 $\lim_{x \to 0} \frac{\tan(\tan x) - \sin(\sin x)}{2x^3}$。
公式：$\arctan u \sim u \ (u \to 0)$
提示：注意等价无穷小替换时，必须确保替换的部分是乘除因子，且极限过程一致。
步骤 2/6
目标：分子展开准备
考虑将 $\tan(\tan x)$ 和 $\sin(\sin x)$ 在 $x=0$ 处展开为泰勒级数。首先需要 $\tan x$ 和 $\sin x$ 的展开式：$\tan x = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + O(x^7)$，$\sin x = x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} + O(x^7)$。
公式：$\tan x = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + O(x^7)$，$\sin x = x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} + O(x^7)$
提示：展开到足够高阶，因为分母是 $x^3$ 阶，分子需要展开到 $x^3$ 项，但注意复合函数可能产生更高阶项。
步骤 3/6
目标：展开 $\tan(\tan x)$
令 $u = \tan x = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + O(x^7)$，则 $\tan(u) = u + \frac{u^3}{3} + \frac{2u^5}{15} + O(u^7)$。代入 $u$ 的展开式，计算到 $x^3$ 项：
$u = x + \frac{x^3}{3} + O(x^5)$，
$u^3 = \left(x + \frac{x^3}{3}\right)^3 + O(x^5) = x^3 + x^3 \cdot \frac{3 \cdot \frac{1}{3}}{?}$ 实际上：$(x + \frac{x^3}{3})^3 = x^3 + 3x^2 \cdot \frac{x^3}{3} + \cdots = x^3 + x^5 + \cdots$，但只需到 $x^3$，所以 $u^3 = x^3 + O(x^5)$。
$u^5 = O(x^5)$。
因此 $\tan(u) = (x + \frac{x^3}{3}) + \frac{1}{3}(x^3) + O(x^5) = x + \frac{2x^3}{3} + O(x^5)$。
公式：复合函数泰勒展开：代入并保留所需阶数
提示：注意 $u^3$ 展开时，$x^3$ 项来自 $(x)^3$ 和 $3x^2 \cdot \frac{x^3}{3}$，但后者是 $x^5$ 阶，所以 $u^3 = x^3 + O(x^5)$。
步骤 4/6
目标：展开 $\sin(\sin x)$
令 $v = \sin x = x - \frac{x^3}{6} + O(x^5)$，则 $\sin(v) = v - \frac{v^3}{6} + \frac{v^5}{120} + O(v^7)$。代入：
$v = x - \frac{x^3}{6} + O(x^5)$，
$v^3 = \left(x - \frac{x^3}{6}\right)^3 + O(x^5) = x^3 - 3x^2 \cdot \frac{x^3}{6} + \cdots = x^3 - \frac{x^5}{2} + \cdots = x^3 + O(x^5)$，
$v^5 = O(x^5)$。
因此 $\sin(v) = (x - \frac{x^3}{6}) - \frac{1}{6}(x^3) + O(x^5) = x - \frac{x^3}{3} + O(x^5)$。
公式：复合函数泰勒展开
提示：注意 $v^3$ 展开时，$x^3$ 项来自 $(x)^3$，交叉项为 $x^5$ 阶，所以 $v^3 = x^3 + O(x^5)$。
步骤 5/6
目标：计算分子差
分子 $\tan(\tan x) - \sin(\sin x) = \left(x + \frac{2x^3}{3} + O(x^5)\right) - \left(x - \frac{x^3}{3} + O(x^5)\right) = \left(\frac{2}{3} + \frac{1}{3}\right)x^3 + O(x^5) = x^3 + O(x^5)$。
提示：注意 $O(x^5)$ 相减仍为 $O(x^5)$，不影响 $x^3$ 项。
步骤 6/6
目标：代入极限并求值
原极限 $\lim_{x \to 0} \frac{\tan(\tan x) - \sin(\sin x)}{2x^3} = \lim_{x \to 0} \frac{x^3 + O(x^5)}{2x^3} = \frac{1}{2}$。
提示：注意分母是 $2x^3$，分子 $x^3$ 项系数为1，所以结果为 $\frac{1}{2}$。
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