太原理工大学 2026年数学分析第3题
📝 题目
3．计算不定积分 $\displaystyle \int \frac{\cos ^{2} x}{\left(a^{2} \sin ^{2} x+b^{2} \cos ^{2} x\right)^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：三角换元：令 t = tan x
令 $t = \tan x$，则 $\mathrm{d}x = \frac{\mathrm{d}t}{1+t^2}$，$\sin^2 x = \frac{t^2}{1+t^2}$，$\cos^2 x = \frac{1}{1+t^2}$。代入原积分得：
$$\int \frac{\cos^2 x}{(a^2 \sin^2 x + b^2 \cos^2 x)^2} \mathrm{d}x = \int \frac{\frac{1}{1+t^2}}{\left( a^2 \frac{t^2}{1+t^2} + b^2 \frac{1}{1+t^2} \right)^2} \cdot \frac{\mathrm{d}t}{1+t^2} = \int \frac{1+t^2}{(a^2 t^2 + b^2)^2} \cdot \frac{\mathrm{d}t}{1+t^2} = \int \frac{\mathrm{d}t}{(a^2 t^2 + b^2)^2}.$$
公式：$\tan x = t$, $\mathrm{d}x = \frac{\mathrm{d}t}{1+t^2}$, $\sin^2 x = \frac{t^2}{1+t^2}$, $\cos^2 x = \frac{1}{1+t^2}$
提示：注意 $\mathrm{d}x$ 的替换不要遗漏分母 $1+t^2$，且化简时 $1+t^2$ 会约掉。
步骤 2/6
目标：再次换元：令 t = (b/a) tan u
当 $a, b \neq 0$ 时，令 $t = \frac{b}{a} \tan u$，则 $\mathrm{d}t = \frac{b}{a} \sec^2 u \, \mathrm{d}u$，且 $a^2 t^2 + b^2 = a^2 \cdot \frac{b^2}{a^2} \tan^2 u + b^2 = b^2(\tan^2 u + 1) = b^2 \sec^2 u$。代入得：
$$\int \frac{\mathrm{d}t}{(a^2 t^2 + b^2)^2} = \int \frac{\frac{b}{a} \sec^2 u \, \mathrm{d}u}{(b^2 \sec^2 u)^2} = \frac{1}{a b^3} \int \cos^2 u \, \mathrm{d}u.$$
公式：$t = \frac{b}{a} \tan u$, $\mathrm{d}t = \frac{b}{a} \sec^2 u \, \mathrm{d}u$, $a^2 t^2 + b^2 = b^2 \sec^2 u$
提示：注意 $\sec^2 u$ 的幂次约简，分母是四次方，分子是一次，所以得到 $\cos^2 u$。
步骤 3/6
目标：计算关于 u 的积分
利用倍角公式 $\cos^2 u = \frac{1+\cos 2u}{2}$，积分得：
$$\frac{1}{a b^3} \int \cos^2 u \, \mathrm{d}u = \frac{1}{a b^3} \int \frac{1+\cos 2u}{2} \mathrm{d}u = \frac{1}{2a b^3} \left( u + \frac{1}{2} \sin 2u \right) + C.$$
公式：$\cos^2 u = \frac{1+\cos 2u}{2}$, $\int \cos 2u \, \mathrm{d}u = \frac{1}{2} \sin 2u$
提示：积分常数 C 不要忘记。
步骤 4/6
目标：将 u 代回为 t
由 $t = \frac{b}{a} \tan u$ 得 $\tan u = \frac{a}{b} t$，所以 $u = \arctan\left( \frac{a}{b} t \right)$。同时，利用二倍角公式：$\sin 2u = \frac{2 \tan u}{1+\tan^2 u} = \frac{2 \cdot \frac{a}{b} t}{1+\frac{a^2}{b^2} t^2} = \frac{2ab t}{b^2 + a^2 t^2}$。因此：
$$\frac{1}{2a b^3} \left( u + \frac{1}{2} \sin 2u \right) = \frac{1}{2a b^3} \left( \arctan\left( \frac{a}{b} t \right) + \frac{ab t}{b^2 + a^2 t^2} \right) + C.$$
公式：$\sin 2u = \frac{2 \tan u}{1+\tan^2 u}$
提示：注意 $\sin 2u$ 表达式中的分母是 $b^2 + a^2 t^2$，不要写反。
步骤 5/6
目标：将 t 代回为 x
由 $t = \tan x$，代入得：
$$\frac{1}{2a b^3} \left( \arctan\left( \frac{a}{b} \tan x \right) + \frac{ab \tan x}{b^2 + a^2 \tan^2 x} \right) + C.$$
化简第二项：$\frac{ab \tan x}{b^2 + a^2 \tan^2 x} = \frac{ab \sin x \cos x}{b^2 \cos^2 x + a^2 \sin^2 x}$（分子分母同乘 $\cos^2 x$）。所以最终结果为：
$$\int \frac{\cos^2 x}{(a^2 \sin^2 x + b^2 \cos^2 x)^2} \mathrm{d}x = \frac{1}{2a b^3} \left( \arctan\left( \frac{a}{b} \tan x \right) + \frac{ab \sin x \cos x}{a^2 \sin^2 x + b^2 \cos^2 x} \right) + C.$$
公式：$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$
提示：化简时注意分母 $b^2 + a^2 \tan^2 x$ 乘以 $\cos^2 x$ 后得到 $b^2 \cos^2 x + a^2 \sin^2 x$，与题目中分母一致。
步骤 6/6
目标：讨论特殊情况
当 $a=0$ 或 $b=0$ 时，原积分退化为简单情形。例如 $a=0$ 时，分母为 $b^4 \cos^4 x$，积分变为 $\int \frac{1}{b^4 \cos^2 x} \mathrm{d}x = \frac{1}{b^4} \tan x + C$。类似地，$b=0$ 时，积分变为 $\int \frac{\cos^2 x}{a^4 \sin^4 x} \mathrm{d}x$，可通过换元 $u = \cot x$ 求解。此处不赘述。
提示：注意 $a,b$ 不能同时为0，否则分母为零无意义。
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