太原理工大学 2026年数学分析第4题
📝 题目
4．计算曲线 $\displaystyle \left(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}\right)^{2}=x^{2}+y^{2}(a, b>0)$ 围成的平面图形的面积．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：建立极坐标方程
曲线方程为 \(\left(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}\right)^{2}=x^{2}+y^{2}\)，其中 \(a,b>0\)。采用极坐标变换 \(x = r\cos\theta, y = r\sin\theta\)，代入方程得：
\[\left(\frac{r^{2}\cos^{2}\theta}{a^{2}}+\frac{r^{2}\sin^{2}\theta}{b^{2}}\right)^{2}=r^{2},\]
即 \(r^{4}\left(\frac{\cos^{2}\theta}{a^{2}}+\frac{\sin^{2}\theta}{b^{2}}\right)^{2}=r^{2}\)，解得 \(r^{2}=\frac{1}{\left(\frac{\cos^{2}\theta}{a^{2}}+\frac{\sin^{2}\theta}{b^{2}}\right)^{2}}\)，故 \(r=\frac{1}{\frac{\cos^{2}\theta}{a^{2}}+\frac{\sin^{2}\theta}{b^{2}}}\)（取正值）。
公式：极坐标变换：\(x=r\cos\theta, y=r\sin\theta\)
提示：注意 \(r\) 取正值，且方程两边约去 \(r^{2}\) 时需考虑 \(r=0\) 的情况，但原点包含在曲线内，不影响面积计算。
步骤 2/6
目标：利用对称性简化面积积分
曲线关于 \(x\) 轴和 \(y\) 轴对称，因此面积 \(S = 4 \times \frac{1}{2} \int_{0}^{\pi/2} r^{2} \, d\theta = 2 \int_{0}^{\pi/2} \frac{1}{\left(\frac{\cos^{2}\theta}{a^{2}}+\frac{\sin^{2}\theta}{b^{2}}\right)^{2}} \, d\theta\)。
公式：极坐标面积公式：\(S = \frac{1}{2}\int_{\alpha}^{\beta} r^{2} d\theta\)
提示：注意对称性：第一象限面积乘以4，但极坐标面积公式中已有 \(\frac{1}{2}\)，所以第一象限面积为 \(\frac{1}{2}\int_{0}^{\pi/2} r^{2} d\theta\)，总面积为4倍。
步骤 3/6
目标：换元：令 \(t = \tan\theta\)
令 \(t = \tan\theta\)，则 \(\theta = \arctan t\)，\(d\theta = \frac{dt}{1+t^{2}}\)，\(\cos^{2}\theta = \frac{1}{1+t^{2}}\)，\(\sin^{2}\theta = \frac{t^{2}}{1+t^{2}}\)。代入得：
\[\frac{\cos^{2}\theta}{a^{2}}+\frac{\sin^{2}\theta}{b^{2}} = \frac{1}{a^{2}(1+t^{2})}+\frac{t^{2}}{b^{2}(1+t^{2})} = \frac{b^{2}+a^{2}t^{2}}{a^{2}b^{2}(1+t^{2})},\]
所以 \(\left(\frac{\cos^{2}\theta}{a^{2}}+\frac{\sin^{2}\theta}{b^{2}}\right)^{2} = \frac{(b^{2}+a^{2}t^{2})^{2}}{a^{4}b^{4}(1+t^{2})^{2}}\)。于是
\[r^{2} = \frac{a^{4}b^{4}(1+t^{2})^{2}}{(b^{2}+a^{2}t^{2})^{2}},\]
且 \(d\theta = \frac{dt}{1+t^{2}}\)。积分限：\(\theta\) 从 \(0\) 到 \(\pi/2\) 对应 \(t\) 从 \(0\) 到 \(+\infty\)。因此
\[S = 2 \int_{0}^{\infty} \frac{a^{4}b^{4}(1+t^{2})^{2}}{(b^{2}+a^{2}t^{2})^{2}} \cdot \frac{dt}{1+t^{2}} = 2a^{4}b^{4} \int_{0}^{\infty} \frac{1+t^{2}}{(b^{2}+a^{2}t^{2})^{2}} \, dt.\]
公式：换元公式：\(d\theta = \frac{dt}{1+t^{2}}\)
提示：注意积分限的变化：\(\theta=0\) 对应 \(t=0\)，\(\theta=\pi/2\) 对应 \(t\to+\infty\)。
步骤 4/6
目标：换元：令 \(t = \frac{b}{a} \tan u\)
计算积分 \(I = \int_{0}^{\infty} \frac{1+t^{2}}{(b^{2}+a^{2}t^{2})^{2}} \, dt\)。令 \(t = \frac{b}{a} \tan u\)，则 \(dt = \frac{b}{a} \sec^{2} u \, du\)，\(1+t^{2}=1+\frac{b^{2}}{a^{2}}\tan^{2}u = \frac{a^{2}+b^{2}\tan^{2}u}{a^{2}}\)，\(b^{2}+a^{2}t^{2}=b^{2}+a^{2}\cdot\frac{b^{2}}{a^{2}}\tan^{2}u = b^{2}(1+\tan^{2}u)=b^{2}\sec^{2}u\)。于是
\[I = \int_{0}^{\pi/2} \frac{\frac{a^{2}+b^{2}\tan^{2}u}{a^{2}}}{(b^{2}\sec^{2}u)^{2}} \cdot \frac{b}{a} \sec^{2}u \, du = \frac{b}{a^{3}} \int_{0}^{\pi/2} \frac{a^{2}+b^{2}\tan^{2}u}{b^{4}\sec^{4}u} \sec^{2}u \, du = \frac{1}{a^{3}b^{3}} \int_{0}^{\pi/2} (a^{2}+b^{2}\tan^{2}u) \cos^{2}u \, du.\]
公式：换元公式：\(dt = \frac{b}{a}\sec^{2}u du\)
提示：注意 \(\tan u\) 在 \(u=\pi/2\) 处趋于无穷，但积分限对应 \(t\to\infty\) 时 \(u\to\pi/2\)，积分收敛。
步骤 5/6
目标：化简被积函数并积分
由于 \(\tan^{2}u \cos^{2}u = \sin^{2}u\)，所以
\[I = \frac{1}{a^{3}b^{3}} \int_{0}^{\pi/2} (a^{2}\cos^{2}u + b^{2}\sin^{2}u) \, du = \frac{1}{a^{3}b^{3}} \left( a^{2} \int_{0}^{\pi/2} \cos^{2}u \, du + b^{2} \int_{0}^{\pi/2} \sin^{2}u \, du \right).\]
已知 \(\int_{0}^{\pi/2} \cos^{2}u \, du = \int_{0}^{\pi/2} \sin^{2}u \, du = \frac{\pi}{4}\)，故
\[I = \frac{1}{a^{3}b^{3}} \left( a^{2}\cdot\frac{\pi}{4} + b^{2}\cdot\frac{\pi}{4} \right) = \frac{\pi(a^{2}+b^{2})}{4a^{3}b^{3}}.\]
公式：积分公式：\(\int_{0}^{\pi/2} \cos^{2}u du = \int_{0}^{\pi/2} \sin^{2}u du = \frac{\pi}{4}\)
提示：注意 \(\cos^{2}u\) 和 \(\sin^{2}u\) 的积分值相等，可利用对称性或倍角公式计算。
步骤 6/6
目标：计算面积并得出结果
因此面积
\[S = 2a^{4}b^{4} \cdot I = 2a^{4}b^{4} \cdot \frac{\pi(a^{2}+b^{2})}{4a^{3}b^{3}} = \frac{\pi a b (a^{2}+b^{2})}{2}.\]
最终答案为 \(\boxed{\dfrac{\pi ab(a^{2}+b^{2})}{2}}\)。
提示：注意化简时系数不要出错：\(2a^{4}b^{4} \times \frac{\pi(a^{2}+b^{2})}{4a^{3}b^{3}} = \frac{\pi a b (a^{2}+b^{2})}{2}\)。
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