太原理工大学 2026年数学分析第12题
📝 题目
12．解答如下问题：
（1）设 $\displaystyle f(x), g(x)$ 都是凸函数，$\displaystyle f(x) g(x)$ 和 $\displaystyle f(g(x))$ 是否是凸函数？若不是，给出反例．对于 $\displaystyle f(g(x))$ ，如何加一个充分条件，使之成为凸函数？给出证明．
（2）证明：实数域上的有界凸函数必是常值函数．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：分析乘积凸性并给出反例
设 $f(x)=x$, $g(x)=x^2$，两者都是凸函数（$f$ 线性，$g$ 二阶导数为正）。乘积 $h(x)=f(x)g(x)=x^3$，其二阶导数 $h''(x)=6x$，当 $x<0$ 时 $h''(x)<0$，故 $h$ 不是凸函数。因此 $f(x)g(x)$ 不一定是凸函数。
公式：$h''(x)=6x$
提示：注意线性函数既是凸也是凹，但乘积可能非凸；反例需验证二阶导数变号。
步骤 2/4
目标：分析复合凸性并给出反例
设 $f(x)=e^{-x}$，$g(x)=x^2$。$f$ 二阶导数为 $e^{-x}>0$，故 $f$ 凸；$g$ 二阶导数为 $2>0$，故 $g$ 凸。复合 $h(x)=f(g(x))=e^{-x^2}$，其二阶导数 $h''(x)=e^{-x^2}(4x^2-2)$，当 $|x|<1/\sqrt{2}$ 时 $h''(x)<0$，故 $h$ 不是凸函数。因此 $f(g(x))$ 不一定是凸函数。
公式：$h''(x)=e^{-x^2}(4x^2-2)$
提示：外层凸函数若递减，则复合可能非凸；反例需验证二阶导数变号。
步骤 3/4
目标：给出复合凸的充分条件并证明
充分条件：若 $f$ 是凸函数且非递减，$g$ 是凸函数，则 $f(g(x))$ 是凸函数。
证明：对任意 $x,y$ 和 $\lambda\in[0,1]$，由 $g$ 凸得 $g(\lambda x+(1-\lambda)y)\leq \lambda g(x)+(1-\lambda)g(y)$。由于 $f$ 非递减，有 $f(g(\lambda x+(1-\lambda)y))\leq f(\lambda g(x)+(1-\lambda)g(y))$。再由 $f$ 凸得 $f(\lambda g(x)+(1-\lambda)g(y))\leq \lambda f(g(x))+(1-\lambda)f(g(y))$。因此 $f(g(\lambda x+(1-\lambda)y))\leq \lambda f(g(x))+(1-\lambda)f(g(y))$，即 $f\circ g$ 凸。
公式：$f(g(\lambda x+(1-\lambda)y))\leq \lambda f(g(x))+(1-\lambda)f(g(y))$
提示：注意非递减条件保证不等式方向一致；证明需分两步：先利用 $g$ 凸，再利用 $f$ 凸。
步骤 4/4
目标：证明有界凸函数必为常值函数（反证法）
设 $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ 是凸函数且有界，即存在 $M>0$ 使得 $|f(x)|\leq M$ 对所有 $x\in\mathbb{R}$ 成立。假设 $f$ 不是常值函数，则存在 $ab$，有 $f(x)\geq f(b)+\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-b)$。由于 $f(b)-f(a)>0$，当 $x\to+\infty$ 时右边趋于 $+\infty$，与 $f$ 有界矛盾。类似地，若 $f(a)>f(b)$，则考虑 $x
公式：$f(x)\geq f(b)+\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-b)$
提示：反证法假设存在两点函数值不等；利用凸函数斜率单调递增性质导出无界；注意 $f(a)b$，$f(a)>f(b)$ 时取 $x
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