太原理工大学 2026年数学分析第7题
📝 题目
7．计算 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\arctan x}{x\left(1+x^{2}\right)} \mathrm{d} x$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：引入参数化积分
令 $I = \int_{0}^{+\infty} \frac{\arctan x}{x(1+x^2)} \, dx$。考虑参数化积分：设 $F(a) = \int_{0}^{+\infty} \frac{\arctan(ax)}{x(1+x^2)} \, dx$，则 $F(0)=0$，$F(1)=I$。
提示：注意参数化时，分子中的 $\arctan x$ 变为 $\arctan(ax)$，分母不变。
步骤 2/7
目标：对参数求导
对 $a$ 求导，利用 Leibniz 积分法则：$F'(a) = \int_{0}^{+\infty} \frac{\partial}{\partial a} \left( \frac{\arctan(ax)}{x(1+x^2)} \right) dx = \int_{0}^{+\infty} \frac{1}{1+a^2 x^2} \cdot \frac{1}{1+x^2} \, dx$。
公式：$\frac{d}{da} \arctan(ax) = \frac{x}{1+a^2 x^2}$
提示：求导时注意 $\arctan(ax)$ 的导数为 $\frac{x}{1+a^2 x^2}$，与分母的 $x$ 约去。
步骤 3/7
目标：部分分式分解被积函数
利用部分分式：$\frac{1}{(1+x^2)(1+a^2 x^2)} = \frac{1}{1-a^2} \left( \frac{1}{1+x^2} - \frac{a^2}{1+a^2 x^2} \right)$，其中 $a \neq 1$。
公式：$\frac{1}{(1+x^2)(1+a^2 x^2)} = \frac{1}{1-a^2} \left( \frac{1}{1+x^2} - \frac{a^2}{1+a^2 x^2} \right)$
提示：注意 $a=1$ 时公式失效，但最终结果可通过连续性得到。
步骤 4/7
目标：计算两个基本积分
计算：$\int_{0}^{+\infty} \frac{dx}{1+x^2} = \frac{\pi}{2}$，$\int_{0}^{+\infty} \frac{dx}{1+a^2 x^2} = \frac{1}{a} \cdot \frac{\pi}{2}$。
公式：$\int_{0}^{\infty} \frac{dx}{1+x^2} = \frac{\pi}{2}$，$\int_{0}^{\infty} \frac{dx}{1+a^2 x^2} = \frac{\pi}{2a}$
提示：第二个积分通过变量代换 $u = ax$ 得到。
步骤 5/7
目标：得到 $F'(a)$ 的表达式
代入得：$F'(a) = \frac{1}{1-a^2} \left( \frac{\pi}{2} - a^2 \cdot \frac{\pi}{2a} \right) = \frac{1}{1-a^2} \cdot \frac{\pi}{2} (1 - a) = \frac{\pi}{2} \cdot \frac{1}{1+a}$。
公式：$F'(a) = \frac{\pi}{2(1+a)}$
提示：化简时注意 $1-a^2 = (1-a)(1+a)$，与分子 $(1-a)$ 约分。
步骤 6/7
目标：积分求 $F(a)$
对 $a$ 积分：$F(a) = \int \frac{\pi}{2(1+a)} da = \frac{\pi}{2} \ln(1+a) + C$。由 $F(0)=0$ 得 $C=0$，故 $F(a) = \frac{\pi}{2} \ln(1+a)$。
公式：$\int \frac{da}{1+a} = \ln(1+a)$
提示：注意积分常数由 $F(0)=0$ 确定。
步骤 7/7
目标：代入 $a=1$ 得结果
令 $a=1$，得 $I = F(1) = \frac{\pi}{2} \ln 2$。
提示：最终结果 $\frac{\pi}{2}\ln 2$。
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