太原理工大学 2026年数学分析第8题
📝 题目
8．判断反常积分 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{x \ln x}{x^{p}+1}(p>0)$ 的敛散性．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：识别积分类型与奇点
反常积分 $\int_{0}^{+\infty} \frac{x \ln x}{x^{p}+1} \, dx$ 有两个奇点：$x=0$（可能为瑕点）和 $x=+\infty$（无穷限）。因此需分别考虑 $\int_{0}^{1}$ 和 $\int_{1}^{+\infty}$ 的敛散性。
提示：注意 $x=0$ 处被积函数可能无定义，需单独分析。
步骤 2/6
目标：分析 $x=0$ 附近的行为
当 $x \to 0^+$ 时，$x^p \to 0$，故 $x^p+1 \sim 1$，被积函数 $\frac{x \ln x}{x^p+1} \sim x \ln x$。由于 $\int_{0}^{1} x \ln x \, dx$ 收敛（因为 $\int_{0}^{1} x^\alpha \ln x \, dx$ 在 $\alpha > -1$ 时收敛，此处 $\alpha=1$），所以 $\int_{0}^{1}$ 收敛。
公式：$\int_{0}^{1} x^\alpha \ln x \, dx$ 收敛当且仅当 $\alpha > -1$
提示：注意 $x \ln x$ 在 $x=0$ 处极限为0，积分收敛。
步骤 3/6
目标：分析 $x \to +\infty$ 时的渐近行为
当 $x \to +\infty$ 时，$x^p$ 主导，故 $x^p+1 \sim x^p$，被积函数 $\frac{x \ln x}{x^p+1} \sim \frac{x \ln x}{x^p} = x^{1-p} \ln x$。
提示：忽略常数项1，保留主要项。
步骤 4/6
目标：讨论 $p>1$ 时的敛散性
当 $p>1$ 时，$1-p<0$。$\int_{1}^{+\infty} x^{1-p} \ln x \, dx$ 的敛散性由指数 $1-p$ 决定：
- 若 $1-p < -1$ 即 $p>2$，则积分收敛（因为 $\int_{1}^{\infty} x^{-\alpha} \ln x \, dx$ 在 $\alpha>1$ 时收敛）；
- 若 $1-p = -1$ 即 $p=2$，则 $\int_{1}^{\infty} x^{-1} \ln x \, dx$ 发散（因为 $\int_{1}^{\infty} \frac{\ln x}{x} dx$ 发散）；
- 若 $1-p > -1$ 即 $1
公式：$\int_{1}^{\infty} x^{-\alpha} \ln x \, dx$ 收敛当且仅当 $\alpha>1$
提示：注意 $p=2$ 是临界情况，需单独判断。
步骤 5/6
目标：讨论 $p \leq 1$ 时的敛散性
当 $p=1$ 时，被积函数 $\sim \frac{x \ln x}{x} = \ln x$，$\int_{1}^{+\infty} \ln x \, dx$ 发散。
当 $00$，$x^{1-p} \ln x$ 在 $+\infty$ 处发散（因为幂次为正，且对数增长慢，但积分发散）。
提示：$p=1$ 时直接代入简化。
步骤 6/6
目标：综合结论
由于 $\int_{0}^{1}$ 总是收敛，原积分的敛散性由 $\int_{1}^{+\infty}$ 决定：
- 当 $p>2$ 时，$\int_{1}^{+\infty}$ 收敛，故原积分收敛；
- 当 $0
提示：注意 $p>2$ 是收敛的充要条件。
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