安徽大学 2026年数学分析第10题
📝 题目
10．设区域 $\displaystyle \Omega$ 由分片光滑的封闭曲面 $\displaystyle \Sigma$ 围成，$\displaystyle u(x, y, z)$ 在 $\displaystyle \bar{\Omega}$ 上具有二阶连续偏导数，且在 $\displaystyle \bar{\Omega}$ 上满足
$$
\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial z^{2}}=0
$$
（1）证明： $\displaystyle \iint_{\Sigma} \frac{\partial u}{\partial n} \mathrm{~d} S=0$ ，其中 $\displaystyle \mathbf{n}$ 是曲面 $\displaystyle \Sigma$ 的单位外法向量．
（2）设 $\displaystyle \left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right) \in \Omega$ 为一定点，证明：
$$
u\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)=\frac{1}{4 \pi} \iint_{\Sigma}\left(u \frac{\cos (\widehat{r, n})}{r^{2}}+\frac{1}{r} \frac{\partial u}{\partial n}\right) \mathrm{d} S
$$
其中 $\displaystyle \mathbf{r}=\left(x-x_{0}, y-y_{0}, z-z_{0}\right), r=\sqrt{\left(x-x_{0}\right)^{2}+\left(y-y_{0}\right)^{2}+\left(z-z_{0}\right)^{2}}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：证明第一问：散度定理应用
由高斯散度定理，有
\[
\iint_{\Sigma} \frac{\partial u}{\partial n} \, dS = \iiint_{\Omega} \nabla \cdot (\nabla u) \, dV = \iiint_{\Omega} \Delta u \, dV = 0,
\]
因为 $\Delta u = 0$ 在 $\Omega$ 内。
公式：高斯散度定理：$\iint_{\Sigma} \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} \, dS = \iiint_{\Omega} \nabla \cdot \mathbf{F} \, dV$
提示：注意 $\frac{\partial u}{\partial n} = \nabla u \cdot \mathbf{n}$，且 $\nabla \cdot (\nabla u) = \Delta u$。
步骤 2/7
目标：引入辅助函数并构造区域
考虑函数 $v = \frac{1}{r}$，其中 $r = \sqrt{(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 + (z-z_0)^2}$。在 $\Omega$ 内，$v$ 除点 $(x_0,y_0,z_0)$ 外满足 $\Delta v = 0$。取以 $(x_0,y_0,z_0)$ 为心、半径 $\varepsilon$ 的小球 $B_\varepsilon$，其边界为 $\Sigma_\varepsilon$，方向取外法向（指向球心）。
公式：拉普拉斯方程：$\Delta v = 0$（除奇点外）
提示：注意 $v$ 在奇点处无定义，需挖去小区域。
步骤 3/7
目标：应用格林第二公式
在区域 $\Omega \setminus B_\varepsilon$ 上应用格林第二公式：
\[
\iiint_{\Omega \setminus B_\varepsilon} (u \Delta v - v \Delta u) \, dV = \iint_{\Sigma \cup \Sigma_\varepsilon} \left( u \frac{\partial v}{\partial n} - v \frac{\partial u}{\partial n} \right) dS.
\]
由于 $\Delta u = 0$，$\Delta v = 0$（在 $\Omega \setminus B_\varepsilon$ 内），左边为0。
公式：格林第二公式：$\iiint (u \Delta v - v \Delta u) dV = \iint (u \frac{\partial v}{\partial n} - v \frac{\partial u}{\partial n}) dS$
提示：注意边界包括外边界 $\Sigma$ 和内边界 $\Sigma_\varepsilon$，且内边界法向指向球心。
步骤 4/7
目标：计算内边界上的积分
在 $\Sigma_\varepsilon$ 上，外法向指向球心，故 $\frac{\partial}{\partial n} = -\frac{\partial}{\partial r}$。在 $\Sigma_\varepsilon$ 上，$r = \varepsilon$，$v = 1/\varepsilon$，$\frac{\partial v}{\partial n} = -\frac{\partial}{\partial r}\left(\frac{1}{r}\right)\big|_{r=\varepsilon} = \frac{1}{\varepsilon^2}$。于是
\[
\iint_{\Sigma_\varepsilon} \left( u \frac{\partial v}{\partial n} - v \frac{\partial u}{\partial n} \right) dS = \iint_{\Sigma_\varepsilon} \left( u \cdot \frac{1}{\varepsilon^2} - \frac{1}{\varepsilon} \frac{\partial u}{\partial n} \right) dS.
\]
公式：方向导数：$\frac{\partial v}{\partial n} = \nabla v \cdot \mathbf{n}$
提示：注意法向方向导致符号变化。
步骤 5/7
目标：取极限得到内边界积分值
当 $\varepsilon \to 0$ 时，由 $u$ 的连续性，$\frac{1}{\varepsilon^2} \iint_{\Sigma_\varepsilon} u \, dS \to 4\pi u(x_0,y_0,z_0)$，而 $\frac{1}{\varepsilon} \iint_{\Sigma_\varepsilon} \frac{\partial u}{\partial n} \, dS \to 0$（因为 $\frac{\partial u}{\partial n}$ 有界，面积 $\sim 4\pi\varepsilon^2$）。因此
\[
\lim_{\varepsilon \to 0} \iint_{\Sigma_\varepsilon} \left( u \frac{\partial v}{\partial n} - v \frac{\partial u}{\partial n} \right) dS = 4\pi u(x_0,y_0,z_0).
\]
公式：球面积分：$\iint_{\Sigma_\varepsilon} dS = 4\pi\varepsilon^2$
提示：注意 $\frac{\partial u}{\partial n}$ 有界，故第二项趋于0。
步骤 6/7
目标：计算外边界上的积分
在 $\Sigma$ 上，$\frac{\partial v}{\partial n} = \frac{\partial}{\partial n}\left(\frac{1}{r}\right) = -\frac{1}{r^2} \frac{\partial r}{\partial n} = -\frac{\cos(\widehat{r,n})}{r^2}$。于是
\[
\iint_{\Sigma} \left( u \frac{\partial v}{\partial n} - v \frac{\partial u}{\partial n} \right) dS = \iint_{\Sigma} \left( -u \frac{\cos(\widehat{r,n})}{r^2} - \frac{1}{r} \frac{\partial u}{\partial n} \right) dS.
\]
公式：方向导数：$\frac{\partial r}{\partial n} = \cos(\widehat{r,n})$
提示：注意 $\cos(\widehat{r,n})$ 是向量 $\mathbf{r}$ 与法向量 $\mathbf{n}$ 夹角的余弦。
步骤 7/7
目标：结合内外边界积分得到结果
由格林公式，$\iint_{\Sigma} (u \frac{\partial v}{\partial n} - v \frac{\partial u}{\partial n}) dS + \iint_{\Sigma_\varepsilon} (u \frac{\partial v}{\partial n} - v \frac{\partial u}{\partial n}) dS = 0$，令 $\varepsilon \to 0$ 得
\[
\iint_{\Sigma} \left( -u \frac{\cos(\widehat{r,n})}{r^2} - \frac{1}{r} \frac{\partial u}{\partial n} \right) dS + 4\pi u(x_0,y_0,z_0) = 0,
\]
即
\[
u(x_0,y_0,z_0) = \frac{1}{4\pi} \iint_{\Sigma} \left( u \frac{\cos(\widehat{r,n})}{r^2} + \frac{1}{r} \frac{\partial u}{\partial n} \right) dS.
\]
提示：注意移项时符号变化。
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