📝 安徽大学 2026年数学分析真题
第1题
1．设 $\displaystyle x_{1}=\frac{1}{5}, x_{n}>0, n=1,2, \cdots$ ，且成立等式 $\displaystyle x_{n+1}^{2}-5 x_{n}-6=0$ ，证明：数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收玫，并求其极限．
第2题
2．计算下列极限：
（1） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+4 x}-2 \ln (x+1)-1}{e^{x}-\sin 3 x+2 x-1}$ ．
（2） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{\sin \frac{\pi}{n}}{2+\cos \frac{k \pi}{n}}$ ．
（1） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+4 x}-2 \ln (x+1)-1}{e^{x}-\sin 3 x+2 x-1}$ ．
（2） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{\sin \frac{\pi}{n}}{2+\cos \frac{k \pi}{n}}$ ．
第3题
3．设广义积分 $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收玫，且导函数 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上有界，证明： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ ．
第4题
4．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上具有连续导数，且 $\displaystyle f(a)=0$ ，证明：
（1） $\displaystyle \int_{a}^{b} f^{2}(x) \mathrm{d} x \leq \frac{(b-a)^{2}}{2} \int_{a}^{b}\left[f^{\prime}(x)\right]^{2} \mathrm{~d} x$.
（2） $\displaystyle \int_{0}^{2 \pi} f(a \cos x+b \sin x) \mathrm{d} x=\int_{0}^{2 \pi} f\left(\sqrt{a^{2}+b^{2}} \sin x\right) \mathrm{d} x$ ．
（1） $\displaystyle \int_{a}^{b} f^{2}(x) \mathrm{d} x \leq \frac{(b-a)^{2}}{2} \int_{a}^{b}\left[f^{\prime}(x)\right]^{2} \mathrm{~d} x$.
（2） $\displaystyle \int_{0}^{2 \pi} f(a \cos x+b \sin x) \mathrm{d} x=\int_{0}^{2 \pi} f\left(\sqrt{a^{2}+b^{2}} \sin x\right) \mathrm{d} x$ ．
第5题
5．设函数 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle (-1,1)$ 上有二阶连续导数，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}=0, f^{\prime \prime}(x) \neq 0$ ，证明：级数 $\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} f(\sqrt{\sqrt[n]{2}-1})$发散．
第6题
6．设 $\displaystyle u_{n}(x)(n=1,2,3, \cdots)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上单调，且函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)$ 在 $\displaystyle x=a$ 和 $\displaystyle x=b$ 处收玫．
（1）证明：$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收敛．
（2）证明：$\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \ln \left(1+\frac{x}{n \ln ^{3} n}\right)$ 在 $\displaystyle [-a, a]$ 上一致收敛，其中 $\displaystyle 0<a<2 \ln ^{3} 2$ ．
（1）证明：$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收敛．
（2）证明：$\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \ln \left(1+\frac{x}{n \ln ^{3} n}\right)$ 在 $\displaystyle [-a, a]$ 上一致收敛，其中 $\displaystyle 0<a<2 \ln ^{3} 2$ ．
第7题
7．设一元函数 $\displaystyle y=\varphi(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 附近有定义，$\displaystyle \varphi(0)=0$ ，且在 $\displaystyle x=0$ 附近满足 $\displaystyle |\varphi(x)| \leq x^{2}$ ，定义二元函数
$$
f(x, y)= \begin{cases}\varphi\left(\frac{x y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \ln \left(1+\sqrt{x^{2}+y^{2}}\right)\right), & (x, y) \neq(0,0) \\ 0, & (x, y)=(0,0)\end{cases}
$$
判断 $\displaystyle f(x, y)$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 处是否可微，并证明．
$$
f(x, y)= \begin{cases}\varphi\left(\frac{x y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \ln \left(1+\sqrt{x^{2}+y^{2}}\right)\right), & (x, y) \neq(0,0) \\ 0, & (x, y)=(0,0)\end{cases}
$$
判断 $\displaystyle f(x, y)$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 处是否可微，并证明．
第8题
8．计算曲线积分
$$
\oint_{L}\left(\frac{-y}{x^{2}+y^{2}}+2 y\right) \mathrm{d} x+\left(\frac{x}{x^{2}+y^{2}}+3 y\right) \mathrm{d} y .
$$
其中曲线 $L$ 的方程为 $\displaystyle \frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1$ ，方向为逆时针方向．
$$
\oint_{L}\left(\frac{-y}{x^{2}+y^{2}}+2 y\right) \mathrm{d} x+\left(\frac{x}{x^{2}+y^{2}}+3 y\right) \mathrm{d} y .
$$
其中曲线 $L$ 的方程为 $\displaystyle \frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1$ ，方向为逆时针方向．
第9题
9．第一卦限中，在曲面 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1$ 上求一点使得该点切平面与三个坐标平面所围成的立体体积最小。
第10题
10．设区域 $\displaystyle \Omega$ 由分片光滑的封闭曲面 $\displaystyle \Sigma$ 围成，$\displaystyle u(x, y, z)$ 在 $\displaystyle \bar{\Omega}$ 上具有二阶连续偏导数，且在 $\displaystyle \bar{\Omega}$ 上满足
$$
\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial z^{2}}=0
$$
（1）证明： $\displaystyle \iint_{\Sigma} \frac{\partial u}{\partial n} \mathrm{~d} S=0$ ，其中 $\displaystyle \mathbf{n}$ 是曲面 $\displaystyle \Sigma$ 的单位外法向量．
（2）设 $\displaystyle \left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right) \in \Omega$ 为一定点，证明：
$$
u\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)=\frac{1}{4 \pi} \iint_{\Sigma}\left(u \frac{\cos (\widehat{r, n})}{r^{2}}+\frac{1}{r} \frac{\partial u}{\partial n}\right) \mathrm{d} S
$$
其中 $\displaystyle \mathbf{r}=\left(x-x_{0}, y-y_{0}, z-z_{0}\right), r=\sqrt{\left(x-x_{0}\right)^{2}+\left(y-y_{0}\right)^{2}+\left(z-z_{0}\right)^{2}}$ ．
$$
\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial z^{2}}=0
$$
（1）证明： $\displaystyle \iint_{\Sigma} \frac{\partial u}{\partial n} \mathrm{~d} S=0$ ，其中 $\displaystyle \mathbf{n}$ 是曲面 $\displaystyle \Sigma$ 的单位外法向量．
（2）设 $\displaystyle \left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right) \in \Omega$ 为一定点，证明：
$$
u\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)=\frac{1}{4 \pi} \iint_{\Sigma}\left(u \frac{\cos (\widehat{r, n})}{r^{2}}+\frac{1}{r} \frac{\partial u}{\partial n}\right) \mathrm{d} S
$$
其中 $\displaystyle \mathbf{r}=\left(x-x_{0}, y-y_{0}, z-z_{0}\right), r=\sqrt{\left(x-x_{0}\right)^{2}+\left(y-y_{0}\right)^{2}+\left(z-z_{0}\right)^{2}}$ ．
第11题
11．计算积分 $\displaystyle \int_{0}^{\pi} \ln \left(1+\frac{1}{2} \cos x\right) \mathrm{d} x$ ．