安徽大学 2026年数学分析第7题
📝 题目
7．设一元函数 $\displaystyle y=\varphi(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 附近有定义，$\displaystyle \varphi(0)=0$ ，且在 $\displaystyle x=0$ 附近满足 $\displaystyle |\varphi(x)| \leq x^{2}$ ，定义二元函数
$$
f(x, y)= \begin{cases}\varphi\left(\frac{x y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \ln \left(1+\sqrt{x^{2}+y^{2}}\right)\right), & (x, y) \neq(0,0) \\ 0, & (x, y)=(0,0)\end{cases}
$$
判断 $\displaystyle f(x, y)$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 处是否可微，并证明．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：验证连续性
由条件 $|\varphi(x)| \leq x^2$ 及 $\varphi(0)=0$，得 $|f(x,y)| \leq \left| \frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}} \ln(1+\sqrt{x^2+y^2}) \right|^2$。令 $r = \sqrt{x^2+y^2}$，则 $|xy| \leq \frac{r^2}{2}$，故 $\left| \frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}} \right| \leq \frac{r}{2}$。因此 $|f(x,y)| \leq \left( \frac{r}{2} \ln(1+r) \right)^2 = \frac{r^2}{4} \ln^2(1+r)$。当 $r \to 0$ 时，$\ln(1+r) \sim r$，所以 $|f(x,y)| \leq O(r^4) \to 0$，从而 $f(x,y) \to 0 = f(0,0)$，故 $f$ 在 $(0,0)$ 连续。
公式：$|\varphi(x)| \leq x^2$，$|xy| \leq \frac{r^2}{2}$，$\ln(1+r) \sim r$
提示：注意利用 $|\varphi| \leq x^2$ 放缩时，自变量是 $\frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}} \ln(1+r)$，需整体平方。
步骤 2/5
目标：计算偏导数
由定义，$f_x(0,0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h,0)-f(0,0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\varphi(0 \cdot \ln(1+|h|))}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\varphi(0)}{h} = 0$。同理，$f_y(0,0)=0$。
公式：$f_x(0,0)=\lim_{h\to0}\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}$
提示：注意 $f(h,0)$ 中 $y=0$，则 $xy=0$，自变量为0，$\varphi(0)=0$。
步骤 3/5
目标：可微性条件转化
若 $f$ 在 $(0,0)$ 可微，则 $f(x,y) = f(0,0) + f_x(0,0)x + f_y(0,0)y + o(r)$，即 $f(x,y) = o(r)$，等价于 $\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{f(x,y)}{r} = 0$。
公式：$\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{f(x,y)}{\sqrt{x^2+y^2}} = 0$
提示：可微定义中余项是 $o(r)$，需验证极限为0。
步骤 4/5
目标：估计 $|f(x,y)|/r$
由连续性中的估计，$|f(x,y)| \leq \frac{r^2}{4} \ln^2(1+r)$，所以 $\frac{|f(x,y)|}{r} \leq \frac{r}{4} \ln^2(1+r)$。当 $r \to 0$ 时，$\frac{r}{4} \ln^2(1+r) \to 0$，故 $\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{f(x,y)}{r} = 0$。
公式：$\frac{|f(x,y)|}{r} \leq \frac{r}{4} \ln^2(1+r)$
提示：注意 $\ln(1+r) \sim r$，所以 $r \ln^2(1+r) \sim r^3 \to 0$。
步骤 5/5
目标：结论
由于 $\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{f(x,y)}{r} = 0$，满足可微条件，因此 $f(x,y)$ 在点 $(0,0)$ 处可微。
提示：可微性要求极限为0，这里已证明。
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