安徽大学 2026年数学分析第9题

设曲面上的点为 $P(x_0, y_0, z_0)$，满足曲面方程 $\frac{x_0^2}{a^2}+\frac{y_0^2}{b^2}+\frac{z_0^2}{c^2}=1$。曲面在点 $P$ 处的切平面方程为 $\frac{x x_0}{a^2}+\frac{y y_0}{b^2}+\frac{z z_0}{c^2}=1$。

令 $y=0, z=0$，得 $x$ 轴截距为 $\frac{a^2}{x_0}$；同理，$y$ 轴截距为 $\frac{b^2}{y_0}$，$z$ 轴截距为 $\frac{c^2}{z_0}$。因此切平面与三个坐标平面围成的四面体顶点为 $(\frac{a^2}{x_0},0,0)$、$(0,\frac{b^2}{y_0},0)$、$(0,0,\frac{c^2}{z_0})$ 和原点。

四面体体积公式为 $V = \frac{1}{6} \times \text{三条棱长之积}$，这里三条棱长分别为 $\frac{a^2}{x_0}$、$\frac{b^2}{y_0}$、$\frac{c^2}{z_0}$，所以 $V = \frac{1}{6} \cdot \frac{a^2}{x_0} \cdot \frac{b^2}{y_0} \cdot \frac{c^2}{z_0} = \frac{a^2 b^2 c^2}{6 x_0 y_0 z_0}$。

由于 $a,b,c$ 为常数，体积 $V$ 最小等价于 $x_0 y_0 z_0$ 最大。约束条件为 $\frac{x_0^2}{a^2}+\frac{y_0^2}{b^2}+\frac{z_0^2}{c^2}=1$，且 $x_0, y_0, z_0 > 0$。

令 $u = \frac{x_0^2}{a^2}, v = \frac{y_0^2}{b^2}, w = \frac{z_0^2}{c^2}$，则 $u+v+w=1$，且 $x_0 y_0 z_0 = abc \sqrt{uvw}$。由均值不等式，$uvw \leq \left(\frac{u+v+w}{3}\right)^3 = \frac{1}{27}$，当且仅当 $u=v=w=\frac{1}{3}$ 时取等。

由 $u=v=w=\frac{1}{3}$ 得 $\frac{x_0^2}{a^2}=\frac{1}{3}$，所以 $x_0 = \frac{a}{\sqrt{3}}$（正根）；同理 $y_0 = \frac{b}{\sqrt{3}}, z_0 = \frac{c}{\sqrt{3}}$。代入体积公式得 $V_{\min} = \frac{a^2 b^2 c^2}{6 \cdot \frac{a}{\sqrt{3}} \cdot \frac{b}{\sqrt{3}} \cdot \frac{c}{\sqrt{3}}} = \frac{\sqrt{3}}{2} abc$。