安徽大学 2026年数学分析第2题
📝 题目
2．计算下列极限：
（1） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+4 x}-2 \ln (x+1)-1}{e^{x}-\sin 3 x+2 x-1}$ ．
（2） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{\sin \frac{\pi}{n}}{2+\cos \frac{k \pi}{n}}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：分子泰勒展开
将分子中的函数展开到二阶：
$\sqrt{1+4x}=1+2x-2x^2+O(x^3)$，
$2\ln(x+1)=2x-x^2+O(x^3)$，
代入分子得：
$(1+2x-2x^2)-(2x-x^2)-1+O(x^3)=-x^2+O(x^3)$。
公式：$\sqrt{1+u}=1+\frac{u}{2}-\frac{u^2}{8}+O(u^3)$, $\ln(1+u)=u-\frac{u^2}{2}+O(u^3)$
提示：注意展开到同阶，分子中常数项和一次项抵消，需展开到二次项。
步骤 2/6
目标：分母泰勒展开
将分母中的函数展开到二阶：
$e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+O(x^4)$，
$\sin 3x=3x-\frac{9x^3}{2}+O(x^5)$，
代入分母得：
$(1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6})-(3x-\frac{9x^3}{2})+2x-1+O(x^3)$
$=(1-1)+(x-3x+2x)+\frac{x^2}{2}+(\frac{x^3}{6}+\frac{9x^3}{2})+O(x^3)$
$=\frac{x^2}{2}+\frac{14x^3}{3}+O(x^3)$。
公式：$e^u=1+u+\frac{u^2}{2}+\frac{u^3}{6}+O(u^4)$, $\sin u=u-\frac{u^3}{6}+O(u^5)$
提示：注意$\sin 3x$展开时$u=3x$，$\sin 3x=3x-\frac{(3x)^3}{6}+O(x^5)=3x-\frac{9x^3}{2}+O(x^5)$。
步骤 3/6
目标：计算极限（1）
利用展开结果：
$\lim_{x\to0}\frac{-x^2+O(x^3)}{\frac{x^2}{2}+O(x^3)}=\lim_{x\to0}\frac{-x^2}{\frac{x^2}{2}}=-2$。
提示：高阶无穷小$O(x^3)$在比值中趋于0，不影响极限。
步骤 4/6
目标：将极限（2）转化为黎曼和
令$\Delta x=\frac{\pi}{n}$，$x_k=\frac{k\pi}{n}$，则
$\sum_{k=1}^n \frac{\sin\frac{\pi}{n}}{2+\cos\frac{k\pi}{n}}=\frac{\sin\frac{\pi}{n}}{\frac{\pi}{n}}\cdot\frac{1}{\pi}\sum_{k=1}^n \frac{1}{2+\cos x_k}\cdot\Delta x$。
当$n\to\infty$时，$\frac{\sin\frac{\pi}{n}}{\frac{\pi}{n}}\to1$，
$\frac{1}{\pi}\sum_{k=1}^n \frac{1}{2+\cos x_k}\Delta x\to\frac{1}{\pi}\int_0^\pi \frac{dx}{2+\cos x}$。
公式：$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n f(\frac{k\pi}{n})=\frac{1}{\pi}\int_0^\pi f(x)dx$
提示：注意黎曼和的形式：$\sum f(x_k)\Delta x$，这里$\Delta x=\frac{\pi}{n}$，且$f(x)=\frac{1}{2+\cos x}$。
步骤 5/6
目标：计算积分
计算$\int_0^\pi \frac{dx}{2+\cos x}$。
利用万能公式：令$t=\tan\frac{x}{2}$，则$\cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2}$，$dx=\frac{2}{1+t^2}dt$，
当$x=0$时$t=0$，$x=\pi$时$t=\infty$，
积分变为$\int_0^\infty \frac{2}{1+t^2}\cdot\frac{1}{2+\frac{1-t^2}{1+t^2}}dt=\int_0^\infty \frac{2}{3+t^2}dt$。
计算得$\frac{2}{\sqrt{3}}\arctan\frac{t}{\sqrt{3}}\Big|_0^\infty=\frac{\pi}{\sqrt{3}}$。
公式：$\int \frac{dx}{a+b\cos x}=\frac{2}{\sqrt{a^2-b^2}}\arctan\left(\sqrt{\frac{a-b}{a+b}}\tan\frac{x}{2}\right)+C$
提示：注意积分限变换，$t$从0到$\infty$，$\arctan\infty=\frac{\pi}{2}$。
步骤 6/6
目标：得出极限（2）结果
原极限$=\frac{1}{\pi}\cdot\frac{\pi}{\sqrt{3}}=\frac{\pi}{\sqrt{3}}$。
提示：不要忘记乘以$\frac{1}{\pi}$。
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