安徽大学 2026年数学分析第1题
📝 题目
1．设 $\displaystyle x_{1}=\frac{1}{5}, x_{n}>0, n=1,2, \cdots$ ，且成立等式 $\displaystyle x_{n+1}^{2}-5 x_{n}-6=0$ ，证明：数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收玫，并求其极限．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：由递推公式解出显式递推关系
由 $x_{n+1}^2 - 5x_n - 6 = 0$ 且 $x_n > 0$，解得 $x_{n+1} = \sqrt{5x_n + 6}$。
公式：$x_{n+1} = \sqrt{5x_n + 6}$
提示：注意开方取正根，因为 $x_{n+1}>0$。
步骤 2/5
目标：证明数列有界
用数学归纳法证明 $0 < x_n < 6$。
- 当 $n=1$ 时，$x_1 = \frac{1}{5} < 6$。
- 假设 $x_n < 6$，则 $x_{n+1} = \sqrt{5x_n + 6} < \sqrt{5\cdot 6 + 6} = \sqrt{36} = 6$。
故对所有 $n$，$0 < x_n < 6$。
提示：归纳假设要明确，注意上界6的选取。
步骤 3/5
目标：证明数列单调递增
考虑 $x_{n+1} - x_n = \sqrt{5x_n + 6} - x_n$。令 $f(x) = \sqrt{5x+6} - x$，$x \in (0,6)$。求导得 $f'(x) = \frac{5}{2\sqrt{5x+6}} - 1$。在 $(0,6)$ 上，$f'(x) > 0$ 当且仅当 $\frac{5}{2\sqrt{5x+6}} > 1$，即 $5 > 2\sqrt{5x+6}$，平方得 $25 > 4(5x+6) \Rightarrow 25 > 20x + 24 \Rightarrow 1 > 20x \Rightarrow x < \frac{1}{20}$。因此 $f(x)$ 在 $(0, \frac{1}{20})$ 上递增，在 $(\frac{1}{20}, 6)$ 上递减。但 $x_1 = \frac{1}{5} = 0.2 > \frac{1}{20}$，且 $f(\frac{1}{5}) = \sqrt{5\cdot\frac{1}{5}+6} - \frac{1}{5} = \sqrt{7} - 0.2 \approx 2.6458 - 0.2 = 2.4458 > 0$，故 $x_2 > x_1$。假设 $x_n > x_{n-1}$，则 $x_{n+1} = \sqrt{5x_n+6} > \sqrt{5x_{n-1}+6} = x_n$，由归纳法知数列单调递增。
公式：$x_{n+1} - x_n = \sqrt{5x_n + 6} - x_n$
提示：注意单调性的证明也可直接用递推关系比较，避免求导。
步骤 4/5
目标：应用单调有界定理得出收敛性
由前两步知数列 $\{x_n\}$ 单调递增且有上界6，根据单调有界定理，数列收敛。
提示：单调有界定理是数列收敛的充分条件。
步骤 5/5
目标：求极限值
设极限为 $L$，则 $L = \sqrt{5L + 6}$，且 $L > 0$。两边平方得 $L^2 = 5L + 6$，即 $L^2 - 5L - 6 = 0$，解得 $L = 6$ 或 $L = -1$（舍去）。故极限为 $6$。
公式：$L = \sqrt{5L + 6}$
提示：平方可能产生增根，需根据 $L>0$ 舍去负根。
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