安徽大学 2026年数学分析第3题
📝 题目
3．设广义积分 $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收玫，且导函数 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上有界，证明： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：应用柯西收敛准则
由于广义积分 $\int_a^{+\infty} f(x) \, dx$ 收敛，由柯西收敛准则，对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $M > a$，使得当 $x_2 > x_1 > M$ 时，有 $\left| \int_{x_1}^{x_2} f(t) \, dt \right| < \varepsilon$。
公式：柯西收敛准则：$\forall \varepsilon>0, \exists M>a, \forall x_2>x_1>M: \left|\int_{x_1}^{x_2} f(t)dt\right|<\varepsilon$
提示：注意积分限的方向，$x_2 > x_1$，积分区间长度任意。
步骤 2/7
目标：利用导函数有界性
已知 $f'(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上有界，即存在 $L > 0$，使得对任意 $x \geq a$，有 $|f'(x)| \leq L$。
公式：$|f'(x)| \leq L$
提示：有界性可能包含 $L=0$ 的情况，需单独处理。
步骤 3/7
目标：反证法假设
假设 $\lim_{x \to +\infty} f(x) \neq 0$，即存在 $\varepsilon_0 > 0$，使得对任意 $N > 0$，存在 $x > N$ 满足 $|f(x)| \geq \varepsilon_0$。于是存在一列 $x_n \to +\infty$，使得 $|f(x_n)| \geq \varepsilon_0$。
提示：反证法假设要明确，注意存在一列点趋于无穷。
步骤 4/7
目标：处理L=0的特殊情况
若 $L=0$，则 $f'(x)=0$，$f(x)$ 为常数。由积分收敛知常数必为0，结论成立。以下考虑 $L>0$ 的情况。
提示：不要遗漏边界情况。
步骤 5/7
目标：利用拉格朗日中值定理估计函数值
由拉格朗日中值定理，对任意 $x, y \geq a$，有 $|f(x)-f(y)| \leq L|x-y|$。取 $\delta = \frac{\varepsilon_0}{2L}$，则对每个 $x_n$，考虑区间 $[x_n, x_n+\delta]$。对任意 $t \in [x_n, x_n+\delta]$，有 $|f(t)-f(x_n)| \leq L|t-x_n| \leq L\delta = \frac{\varepsilon_0}{2}$，从而 $|f(t)| \geq |f(x_n)| - |f(t)-f(x_n)| \geq \varepsilon_0 - \frac{\varepsilon_0}{2} = \frac{\varepsilon_0}{2}$。
公式：拉格朗日中值定理：$|f(x)-f(y)| \leq L|x-y|$
提示：注意绝对值不等式：$|f(t)| \geq |f(x_n)| - |f(t)-f(x_n)|$。
步骤 6/7
目标：导出积分下界
于是 $\left| \int_{x_n}^{x_n+\delta} f(t) \, dt \right| \geq \int_{x_n}^{x_n+\delta} \frac{\varepsilon_0}{2} \, dt = \frac{\varepsilon_0 \delta}{2} > 0$。
公式：$\left|\int_{x_n}^{x_n+\delta} f(t)dt\right| \geq \frac{\varepsilon_0\delta}{2}$
提示：注意连续函数在区间内不变号的论证。
步骤 7/7
目标：与柯西收敛准则矛盾
取 $\varepsilon = \frac{\varepsilon_0 \delta}{2}$，则对任意 $M$，存在 $x_n > M$，使得 $\left| \int_{x_n}^{x_n+\delta} f(t) \, dt \right| \geq \varepsilon$，这与柯西收敛准则矛盾。因此假设不成立，故 $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0$。
提示：注意柯西收敛准则要求对任意 $\varepsilon>0$，存在 $M$ 使得任意区间积分绝对值小于 $\varepsilon$，这里我们找到了一个固定的 $\varepsilon$ 和区间长度 $\delta$，使得无论 $M$ 多大，总存在区间积分绝对值不小于 $\varepsilon$，从而矛盾。
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