安徽大学 2026年数学分析第11题
📝 题目
11．计算积分 $\displaystyle \int_{0}^{\pi} \ln \left(1+\frac{1}{2} \cos x\right) \mathrm{d} x$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：利用对称性将积分区间扩展到0到2π
由于被积函数 $\ln\left(1+\frac{1}{2}\cos x\right)$ 在 $[0,\pi]$ 上满足 $\cos(\pi - x) = -\cos x$，但直接利用对称性：注意到 $\cos x$ 在 $[0,2\pi]$ 上的积分与 $[0,\pi]$ 上的关系，实际上 $\int_{0}^{\pi} \ln(1+a\cos x) dx = \frac{1}{2} \int_{0}^{2\pi} \ln(1+a\cos x) dx$，因为 $\cos x$ 在 $[\pi,2\pi]$ 上的行为与 $[0,\pi]$ 对称。因此，令 $I = \int_{0}^{\pi} \ln\left(1+\frac{1}{2}\cos x\right) dx$，则 $I = \frac{1}{2} \int_{0}^{2\pi} \ln\left(1+\frac{1}{2}\cos x\right) dx$。
公式：\int_{0}^{\pi} f(\cos x) dx = \frac{1}{2} \int_{0}^{2\pi} f(\cos x) dx
提示：注意对称性成立的条件：被积函数是 $\cos x$ 的偶函数，且区间对称。
步骤 2/5
目标：应用已知积分公式
已知公式：$\int_{0}^{2\pi} \ln(1+a\cos x) dx = 2\pi \ln\left(\frac{1+\sqrt{1-a^2}}{2}\right)$，其中 $|a|<1$。这里 $a = \frac{1}{2}$，代入得：$\int_{0}^{2\pi} \ln\left(1+\frac{1}{2}\cos x\right) dx = 2\pi \ln\left(\frac{1+\sqrt{1-(1/2)^2}}{2}\right)$。
公式：\int_{0}^{2\pi} \ln(1+a\cos x) dx = 2\pi \ln\left(\frac{1+\sqrt{1-a^2}}{2}\right)
提示：公式成立条件 $|a|<1$，这里 $a=1/2$ 满足。注意公式中根号内是 $1-a^2$。
步骤 3/5
目标：计算根号表达式
计算 $\sqrt{1-(1/2)^2} = \sqrt{1-\frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$。
提示：注意平方根的正确计算，避免算术错误。
步骤 4/5
目标：代入并简化表达式
将根号结果代入公式：$\int_{0}^{2\pi} \ln\left(1+\frac{1}{2}\cos x\right) dx = 2\pi \ln\left(\frac{1+\frac{\sqrt{3}}{2}}{2}\right) = 2\pi \ln\left(\frac{2+\sqrt{3}}{4}\right)$。
提示：化简时注意分子分母同时乘以2：$\frac{1+\frac{\sqrt{3}}{2}}{2} = \frac{2+\sqrt{3}}{4}$。
步骤 5/5
目标：乘以系数得到最终积分值
由第一步，$I = \frac{1}{2} \int_{0}^{2\pi} \ln\left(1+\frac{1}{2}\cos x\right) dx = \frac{1}{2} \cdot 2\pi \ln\left(\frac{2+\sqrt{3}}{4}\right) = \pi \ln\left(\frac{2+\sqrt{3}}{4}\right)$。
提示：注意系数 $\frac{1}{2}$ 与 $2\pi$ 相乘得 $\pi$，不要遗漏。
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