安徽大学 2026年数学分析第8题
📝 题目
8．计算曲线积分
$$
\oint_{L}\left(\frac{-y}{x^{2}+y^{2}}+2 y\right) \mathrm{d} x+\left(\frac{x}{x^{2}+y^{2}}+3 y\right) \mathrm{d} y .
$$
其中曲线 $L$ 的方程为 $\displaystyle \frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1$ ，方向为逆时针方向．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：识别问题类型与奇点
曲线积分 $I = \oint_{L} \left( \frac{-y}{x^2+y^2} + 2y \right) dx + \left( \frac{x}{x^2+y^2} + 3y \right) dy$，其中 $L$ 为椭圆 $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$，逆时针方向。被积函数在原点 $(0,0)$ 处不连续，而原点位于椭圆内部，因此不能直接应用格林公式。
提示：注意检查被积函数是否有奇点，且奇点是否在积分区域内。
步骤 2/7
目标：构造复连通区域
在椭圆内部挖去一个小圆 $C_\varepsilon: x^2+y^2 = \varepsilon^2$（足够小，使得小圆完全在椭圆内），方向取顺时针。设 $L$ 和 $C_\varepsilon$ 围成的区域为 $D$，则 $D$ 内被积函数连续可微。应用格林公式于复连通区域：
$$\oint_{L} P dx + Q dy + \oint_{C_\varepsilon} P dx + Q dy = \iint_D \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) dx dy,$$
其中 $P = \frac{-y}{x^2+y^2} + 2y$，$Q = \frac{x}{x^2+y^2} + 3y$。注意 $C_\varepsilon$ 取顺时针，故左边为 $\oint_L + \oint_{C_\varepsilon}$。
公式：格林公式：$\oint_{\partial D} Pdx+Qdy = \iint_D (\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}) dxdy$
提示：挖去小圆时，小圆方向应取顺时针，以便与椭圆逆时针方向构成区域的正向边界。
步骤 3/7
目标：计算偏导数差
计算 $\frac{\partial Q}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial P}{\partial y}$：
$$\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{x}{x^2+y^2} + 3y \right) = \frac{(x^2+y^2) - x \cdot 2x}{(x^2+y^2)^2} = \frac{y^2 - x^2}{(x^2+y^2)^2},$$
$$\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{-y}{x^2+y^2} + 2y \right) = \frac{-(x^2+y^2) + y \cdot 2y}{(x^2+y^2)^2} + 2 = \frac{-x^2 + y^2}{(x^2+y^2)^2} + 2.$$
因此
$$\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{y^2 - x^2}{(x^2+y^2)^2} - \left( \frac{y^2 - x^2}{(x^2+y^2)^2} + 2 \right) = -2.$$
提示：注意 $\frac{\partial P}{\partial y}$ 中 $2y$ 的导数为 $2$，不要遗漏。
步骤 4/7
目标：计算区域D上的二重积分
区域 $D$ 是椭圆去掉小圆，其面积为椭圆面积减去小圆面积：
$$\text{Area}(D) = \pi \cdot 3 \cdot 2 - \pi \varepsilon^2 = 6\pi - \pi \varepsilon^2.$$
因此
$$\iint_D (-2) dx dy = -2(6\pi - \pi \varepsilon^2) = -12\pi + 2\pi \varepsilon^2.$$
公式：椭圆面积公式：$\pi ab$
提示：椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 面积为 $\pi ab$，这里 $a=3, b=2$。
步骤 5/7
目标：计算小圆上的曲线积分
小圆 $C_\varepsilon$ 顺时针方向，参数化：$x = \varepsilon \cos \theta$，$y = \varepsilon \sin \theta$，$\theta$ 从 $2\pi$ 到 $0$。则 $dx = -\varepsilon \sin \theta d\theta$，$dy = \varepsilon \cos \theta d\theta$。代入 $P, Q$：
$$P = -\frac{\sin \theta}{\varepsilon} + 2\varepsilon \sin \theta, \quad Q = \frac{\cos \theta}{\varepsilon} + 3\varepsilon \sin \theta.$$
计算 $Pdx+Qdy$：
$$Pdx+Qdy = \left( -\frac{\sin \theta}{\varepsilon} + 2\varepsilon \sin \theta \right)(-\varepsilon \sin \theta d\theta) + \left( \frac{\cos \theta}{\varepsilon} + 3\varepsilon \sin \theta \right)(\varepsilon \cos \theta d\theta)$$
$$= (\sin^2 \theta - 2\varepsilon^2 \sin^2 \theta) d\theta + (\cos^2 \theta + 3\varepsilon^2 \sin \theta \cos \theta) d\theta$$
$$= d\theta + \varepsilon^2 (-2\sin^2 \theta + 3\sin \theta \cos \theta) d\theta.$$
沿 $C_\varepsilon$ 顺时针积分：
$$\oint_{C_\varepsilon} Pdx+Qdy = \int_{2\pi}^{0} [1 + \varepsilon^2(-2\sin^2 \theta + 3\sin \theta \cos \theta)] d\theta$$
$$= -\int_{0}^{2\pi} d\theta - \varepsilon^2 \int_{0}^{2\pi} (-2\sin^2 \theta + 3\sin \theta \cos \theta) d\theta = -2\pi + 2\pi \varepsilon^2.$$
公式：参数化曲线积分公式
提示：注意积分方向：顺时针对应 $\theta$ 从 $2\pi$ 到 $0$，结果会多一个负号。计算 $\int_0^{2\pi} \sin^2 \theta d\theta = \pi$，$\int_0^{2\pi} \sin \theta \cos \theta d\theta = 0$。
步骤 6/7
目标：代入格林公式求解原积分
将结果代入格林公式：
$$\oint_L Pdx+Qdy + (-2\pi + 2\pi \varepsilon^2) = -12\pi + 2\pi \varepsilon^2.$$
解得
$$\oint_L Pdx+Qdy = -12\pi + 2\pi \varepsilon^2 + 2\pi - 2\pi \varepsilon^2 = -10\pi.$$
提示：注意移项时符号变化，$\varepsilon^2$ 项恰好抵消。
步骤 7/7
目标：得出最终答案
因此，原曲线积分为 $-10\pi$。
提示：最终结果与 $\varepsilon$ 无关，验证了挖去小圆方法的正确性。
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