安徽大学 2026年数学分析第4题
📝 题目
4．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上具有连续导数，且 $\displaystyle f(a)=0$ ，证明：
（1） $\displaystyle \int_{a}^{b} f^{2}(x) \mathrm{d} x \leq \frac{(b-a)^{2}}{2} \int_{a}^{b}\left[f^{\prime}(x)\right]^{2} \mathrm{~d} x$.
（2） $\displaystyle \int_{0}^{2 \pi} f(a \cos x+b \sin x) \mathrm{d} x=\int_{0}^{2 \pi} f\left(\sqrt{a^{2}+b^{2}} \sin x\right) \mathrm{d} x$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：应用柯西-施瓦茨不等式
由柯西-施瓦茨不等式，有
\[
\left(\int_a^b f(x) f'(x) \, dx\right)^2 \leq \int_a^b f^2(x) \, dx \cdot \int_a^b [f'(x)]^2 \, dx.
\]
公式：柯西-施瓦茨不等式：$(\int u v)^2 \leq \int u^2 \int v^2$
提示：注意不等式方向，左边是平方，右边是乘积。
步骤 2/8
目标：计算积分 $\int_a^b f(x)f'(x)dx$
由于 $f(a)=0$，利用 $\frac{d}{dx}[f^2(x)] = 2f(x)f'(x)$，得
\[
\int_a^b f(x)f'(x) \, dx = \frac{1}{2} \int_a^b \frac{d}{dx}[f^2(x)] \, dx = \frac{1}{2}[f^2(b)-f^2(a)] = \frac{1}{2}f^2(b).
\]
公式：$\int f f' = \frac{1}{2}f^2$
提示：注意 $f(a)=0$ 的条件，否则结果不同。
步骤 3/8
目标：代入柯西-施瓦茨不等式
将上一步结果代入不等式，得
\[
\frac{1}{4}f^4(b) \leq \int_a^b f^2(x) \, dx \cdot \int_a^b [f'(x)]^2 \, dx.
\]
提示：注意平方的处理：$(\frac{1}{2}f^2(b))^2 = \frac{1}{4}f^4(b)$。
步骤 4/8
目标：估计 $f^2(b)$
由牛顿-莱布尼茨公式和柯西-施瓦茨不等式，
\[
f^2(b) = \left(\int_a^b f'(x) \, dx\right)^2 \leq (b-a) \int_a^b [f'(x)]^2 \, dx.
\]
公式：柯西-施瓦茨不等式：$(\int 1 \cdot f')^2 \leq \int 1^2 \int (f')^2$
提示：注意 $f(a)=0$，所以 $f(b)=\int_a^b f'(x)dx$。
步骤 5/8
目标：代入并化简得到不等式（1）
将 $f^2(b)$ 的估计代入 $\frac{1}{4}f^4(b) \leq \int f^2 \int (f')^2$，得
\[
\frac{1}{4} (b-a)^2 \left(\int_a^b [f'(x)]^2 \, dx\right)^2 \leq \int_a^b f^2(x) \, dx \cdot \int_a^b [f'(x)]^2 \, dx.
\]
两边除以 $\int [f']^2$（若为零则不等式平凡成立），得
\[
\int_a^b f^2(x) \, dx \leq \frac{(b-a)^2}{2} \int_a^b [f'(x)]^2 \, dx.
\]
提示：注意除以 $\int [f']^2$ 时需考虑其为零的情况，但此时 $f'\equiv0$，$f\equiv0$，不等式成立。
步骤 6/8
目标：化简被积函数（2）
令 $r=\sqrt{a^2+b^2}$，则存在 $\theta$ 使得 $a=r\cos\theta$，$b=r\sin\theta$。于是
\[
a\cos x + b\sin x = r\cos(x-\theta).
\]
所以
\[
\int_0^{2\pi} f(a\cos x + b\sin x) \, dx = \int_0^{2\pi} f(r\cos(x-\theta)) \, dx.
\]
公式：三角恒等式：$\cos(x-\theta)=\cos x\cos\theta+\sin x\sin\theta$
提示：注意 $\theta$ 的存在性，由 $a,b$ 确定。
步骤 7/8
目标：变量代换并利用周期性
作变量代换 $u=x-\theta$，则 $dx=du$，积分限变为 $[-\theta, 2\pi-\theta]$。由于被积函数周期为 $2\pi$，积分值不变，故
\[
\int_0^{2\pi} f(r\cos(x-\theta)) \, dx = \int_0^{2\pi} f(r\cos u) \, du.
\]
公式：周期函数积分性质：$\int_0^{2\pi} g(x)dx = \int_c^{c+2\pi} g(x)dx$
提示：注意积分限平移后需利用周期性，确保积分区间长度为 $2\pi$。
步骤 8/8
目标：将余弦化为正弦
由于 $\cos u = \sin(u+\pi/2)$，且积分区间长度 $2\pi$，所以
\[
\int_0^{2\pi} f(r\cos u) \, du = \int_0^{2\pi} f(r\sin u) \, du.
\]
因此原式成立。
公式：三角恒等式：$\cos u = \sin(u+\pi/2)$
提示：注意正弦与余弦的相位差，积分区间长度 $2\pi$ 保证变换后积分不变。
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