安徽大学 2026年数学分析第5题
📝 题目
5．设函数 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle (-1,1)$ 上有二阶连续导数，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}=0, f^{\prime \prime}(x) \neq 0$ ，证明：级数 $\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} f(\sqrt{\sqrt[n]{2}-1})$发散．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：由极限条件推导函数在0处的性质
由 $\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x} = 0$ 且 $f$ 在 $(-1,1)$ 上二阶连续可导，可知 $f(0) = \lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x} \cdot x = 0$，且 $f'(0) = \lim_{x \to 0} \frac{f(x)-f(0)}{x-0} = \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x} = 0$。
提示：注意极限条件给出的是 $f(x)/x$ 趋于0，而不是 $f(x)$ 趋于0，需利用连续性得到 $f(0)=0$。
步骤 2/7
目标：应用泰勒公式展开f(x)
由于 $f$ 二阶可导，由带拉格朗日余项的泰勒公式，存在 $\theta \in (0,1)$ 使得
$$f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{1}{2}f''(\theta x)x^2 = \frac{1}{2}f''(\theta x)x^2.$$
公式：$$f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{1}{2}f''(\theta x)x^2$$
提示：注意余项是 $\frac{1}{2}f''(\theta x)x^2$，其中 $\theta$ 依赖于 $x$。
步骤 3/7
目标：利用二阶导数的连续性得到下界估计
因为 $f''(x)$ 连续且 $f''(0) \neq 0$，存在 $\delta > 0$ 使得当 $|x| < \delta$ 时 $f''(x) \neq 0$ 且符号不变。于是存在常数 $c > 0$ 使得 $|f''(\theta x)| \geq 2c$（例如取 $c = \frac{1}{4}|f''(0)|$），从而当 $|x|$ 充分小时，$|f(x)| \geq c x^2$。
提示：注意 $f''(x)$ 连续且非零，故在0附近有正下界，但需注意符号不变性。
步骤 4/7
目标：定义通项并分析其渐近行为
令 $a_n = f(\sqrt{\sqrt[n]{2}-1})$，$x_n = \sqrt{\sqrt[n]{2}-1}$。当 $n \to \infty$ 时，$x_n \to 0$。计算 $x_n$ 的渐近：
$$\sqrt[n]{2} = e^{\frac{\ln 2}{n}} = 1 + \frac{\ln 2}{n} + O\left(\frac{1}{n^2}\right),$$
所以
$$\sqrt[n]{2} - 1 \sim \frac{\ln 2}{n}, \quad x_n = \sqrt{\sqrt[n]{2}-1} \sim \sqrt{\frac{\ln 2}{n}}.$$
公式：$$\sqrt[n]{2} = e^{\frac{\ln 2}{n}} = 1 + \frac{\ln 2}{n} + O\left(\frac{1}{n^2}\right)$$
提示：注意 $\sqrt[n]{2}$ 的展开要准确，避免遗漏高阶项。
步骤 5/7
目标：得到通项的下界估计
由 $|f(x)| \geq c x^2$ 对充分小的 $x$ 成立，且 $x_n \to 0$，故当 $n$ 充分大时，$|a_n| \geq c x_n^2$。而 $x_n^2 \sim \frac{\ln 2}{n}$，因此存在常数 $C>0$ 使得 $|a_n| \geq \frac{C}{n}$。
公式：$$|a_n| \geq c x_n^2 \sim \frac{c \ln 2}{n}$$
提示：注意下界估计需要 $n$ 足够大，且 $c$ 是常数。
步骤 6/7
目标：判断级数的敛散性
由于 $|a_n| \geq \frac{C}{n}$，而调和级数 $\sum \frac{1}{n}$ 发散，由比较判别法，级数 $\sum |a_n|$ 发散。但原级数 $\sum a_n$ 不一定绝对收敛，然而若 $a_n$ 不趋于0，则级数发散。实际上，$|a_n| \geq \frac{C}{n}$ 意味着 $a_n$ 不趋于0（因为 $\frac{C}{n} \to 0$，但 $a_n$ 可能振荡？注意 $f''(x)$ 符号不变，故 $f(x)$ 在0附近符号不变，因此 $a_n$ 同号，且绝对值有正下界，故通项不趋于0，级数发散。
提示：注意比较判别法要求正项级数，这里 $a_n$ 可能为负，但绝对值比较可说明绝对发散，而原级数发散需额外说明通项不趋于0或使用莱布尼茨判别法条件不满足。
步骤 7/7
目标：总结结论
因此，级数 $\sum_{n=2}^{\infty} f(\sqrt{\sqrt[n]{2}-1})$ 发散。
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