安徽师范大学 2013年数学分析第0题
📝 题目
七，（10 分）设 $\displaystyle \left|f_{n}(x)\right| \leq c_{n}, x \in(a, b), n=1,2, \cdots, \sum_{n=1}^{\infty} c_{n}$ 收玫，证明 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \ln \left[1+f_{n}(x)\right]$ 在 $\displaystyle [\mathrm{a}, \mathrm{b}]$上一致收玫。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：分析条件并确定级数收敛性
由条件 $|f_n(x)| \leq c_n$ 且 $\sum_{n=1}^{\infty} c_n$ 收敛，可知 $c_n \to 0$，故存在 $N_0$，当 $n > N_0$ 时，$c_n < \frac{1}{2}$，从而 $|f_n(x)| \leq c_n < \frac{1}{2}$。
公式：$c_n \to 0$
提示：注意 $c_n$ 收敛到0是后续放缩的前提。
步骤 2/5
目标：建立对数函数的不等式
考虑函数 $\ln(1+u)$ 在 $|u| \leq \frac{1}{2}$ 上的性质。由拉格朗日中值定理，存在 $\xi$ 介于0与 $u$ 之间，使得 $|\ln(1+u)| = |\frac{1}{1+\xi} u| \leq 2|u|$，因为 $1+\xi \geq \frac{1}{2}$。故可取 $M=2$，使得 $|\ln(1+u)| \leq 2|u|$ 对 $|u| \leq \frac{1}{2}$ 成立。
公式：$|\ln(1+u)| \leq 2|u|$ 当 $|u| \leq \frac{1}{2}$
提示：注意中值定理中 $\xi$ 的范围，确保分母有下界。
步骤 3/5
目标：应用不等式到函数项
当 $n > N_0$ 时，对一切 $x \in [a,b]$ 有 $|f_n(x)| \leq c_n < \frac{1}{2}$，因此 $|\ln[1+f_n(x)]| \leq 2|f_n(x)| \leq 2c_n$。
公式：$|\ln[1+f_n(x)]| \leq 2c_n$
提示：注意 $f_n(x)$ 可能为负，但绝对值不等式仍然成立。
步骤 4/5
目标：构造优级数
由于 $\sum_{n=1}^{\infty} c_n$ 收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty} 2c_n$ 也收敛。因此，级数 $\sum_{n=1}^{\infty} 2c_n$ 是 $\sum_{n=1}^{\infty} \ln[1+f_n(x)]$ 的一个优级数。
公式：$\sum_{n=1}^{\infty} 2c_n$ 收敛
提示：优级数必须是正项级数且收敛。
步骤 5/5
目标：应用魏尔斯特拉斯优级数判别法
由魏尔斯特拉斯优级数判别法（M-判别法），若存在收敛的正项级数 $\sum M_n$ 使得 $|u_n(x)| \leq M_n$ 对一切 $x$ 成立，则 $\sum u_n(x)$ 一致收敛。这里 $u_n(x)=\ln[1+f_n(x)]$，$M_n=2c_n$（对 $n>N_0$），前有限项不影响一致收敛性，故 $\sum_{n=1}^{\infty} \ln[1+f_n(x)]$ 在 $[a,b]$ 上一致收敛。
公式：M-判别法
提示：注意一致收敛的定义：对任意 $\epsilon>0$，存在 $N$ 使得对 $n>N$ 和所有 $x$，余项小于 $\epsilon$。
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