📝 安徽师范大学 2013年数学分析真题

七，（10 分）设 $\displaystyle \left|f_{n}(x)\right| \leq c_{n}, x \in(a, b), n=1,2, \cdots, \sum_{n=1}^{\infty} c_{n}$ 收玫，证明 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \ln \left[1+f_{n}(x)\right]$ 在 $\displaystyle [\mathrm{a}, \mathrm{b}]$上一致收玫。

三，（10 分）在 $\displaystyle [a, b]$ 上仅有第一类间断点的函数必有界．

二，（15 分）证明：$\displaystyle x+x^{3}+x^{5}+\cdots+x^{2 n-1}=1$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续且严格单调递增．

五，（10 分）考察 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{[(n+1)!]^{n-1}}{1!3!\cdots(2 n-1)!}$ 的敛散性。

八，设 $\displaystyle f(x, y, z)=\left\{\begin{array}{c}(x+y+z)^{p} \sin \frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2} \neq 0\right) \\ 0, x^{2}+y^{2}+z^{2}=0\end{array}\right.$ ，其中 $\displaystyle p \in N^{+}$，证明 $\displaystyle p>0$ 时，$\displaystyle f(x, y, z)$ 在原点处连续．

六，（10 分）求 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(n+x)^{n}}{n^{n+x}}$ 的收敛域。

四，（20 分）证明：（1）在 $\displaystyle [a, b]$ 上凸函数必有界．
（2）［a，b］上凸函数必内必一致连续．

1． $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(1-\frac{1}{2^{2}}\right)\left(1-\frac{1}{3^{2}}\right) \cdots\left(1-\frac{1}{n^{2}}\right)$ ；

2． $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{\sqrt[n]{n!}}$ ；

3． $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{1} b_{2 n}+a_{3} b_{2 n-2}+\cdots+a_{2 n-3} b_{4}+a_{2 n-1} b_{2}}{n}$ ，其中 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=a, \lim _{n \rightarrow \infty} b_{n}=b$ ．

4． $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1}\left(1-x^{2}\right)^{n} d x ;$

5． $\displaystyle \lim _{x \rightarrow \infty} \int_{x+f(x)}^{x+2 f(x)} f(t) d t$ ，其中 $\displaystyle \mathrm{f}(\mathrm{x}) \in[0,+\infty), \lim _{\mathrm{x} \rightarrow+\infty} \mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{a}$ ．