安徽师范大学 2013年数学分析第0题

设 $a_n = \frac{[(n+1)!]^{n-1}}{1!3!\cdots(2n-1)!}$，考虑比值 $\frac{a_{n+1}}{a_n}$。

$$\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{[(n+2)!]^{n}}{\prod_{k=1}^{n+1} (2k-1)!} \cdot \frac{\prod_{k=1}^n (2k-1)!}{[(n+1)!]^{n-1}} = \frac{[(n+2)!]^{n}}{[(n+1)!]^{n-1}} \cdot \frac{1}{(2n+1)!}.$$ 进一步，$[(n+2)!]^n = [(n+2)(n+1)!]^n = (n+2)^n [(n+1)!]^n$，所以 $$\frac{a_{n+1}}{a_n} = (n+2)^n \cdot \frac{[(n+1)!]^n}{[(n+1)!]^{n-1}} \cdot \frac{1}{(2n+1)!} = (n+2)^n (n+1)! \cdot \frac{1}{(2n+1)!}.$$

取自然对数：$$\ln\frac{a_{n+1}}{a_n} = n\ln(n+2) + \ln((n+1)!) - \ln((2n+1)!).$$ 利用斯特林公式 $\ln(m!) = m\ln m - m + O(\ln m)$，代入得：$$\ln((n+1)!) = (n+1)\ln(n+1) - (n+1) + O(\ln n),$$ $$\ln((2n+1)!) = (2n+1)\ln(2n+1) - (2n+1) + O(\ln n).$$

代入得：$$\ln\frac{a_{n+1}}{a_n} = n\ln(n+2) + (n+1)\ln(n+1) - (2n+1)\ln(2n+1) + n + O(\ln n).$$ 将 $\ln(2n+1) = \ln2 + \ln n + \ln(1+\frac{1}{2n})$，并展开 $\ln(n+2) = \ln n + \ln(1+\frac{2}{n})$，$\ln(n+1) = \ln n + \ln(1+\frac{1}{n})$。代入后合并同类项。

经过展开和化简（详细过程见答案），得到：$$\ln\frac{a_{n+1}}{a_n} = n(1-2\ln2) + (2-\ln2) + O(\ln n).$$ 由于 $1-2\ln2 \approx -0.386 < 0$，当 $n\to\infty$ 时，$\ln\frac{a_{n+1}}{a_n} \to -\infty$，因此 $\frac{a_{n+1}}{a_n} \to 0$。由比值判别法，极限小于1，故级数收敛。