安徽师范大学 2013年数学分析第0题
📝 题目
三，（10 分）在 $\displaystyle [a, b]$ 上仅有第一类间断点的函数必有界．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：明确已知条件和目标
已知函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上仅有第一类间断点，即所有间断点处的左极限和右极限都存在且有限。要证明 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上有界。
提示：注意第一类间断点的定义：左右极限均存在有限，但可能不等于函数值或函数在该点无定义。
步骤 2/6
目标：反证法假设
假设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上无界，则存在点列 $\{x_n\} \subset [a,b]$，使得 $|f(x_n)| \to +\infty$（当 $n \to \infty$）。
公式：$|f(x_n)| \to +\infty$
提示：无界的定义：对任意 $M>0$，存在 $x \in [a,b]$ 使得 $|f(x)|>M$。由此可构造点列。
步骤 3/6
目标：利用紧致性取收敛子列
由于 $[a,b]$ 是紧致集（有界闭区间），点列 $\{x_n\}$ 必有收敛子列。设 $\{x_{n_k}\}$ 为收敛子列，且 $x_{n_k} \to x_0 \in [a,b]$。
提示：紧致性（Bolzano-Weierstrass定理）：有界数列必有收敛子列。注意 $x_0$ 可能在区间端点。
步骤 4/6
目标：分情况讨论：$x_0$ 为连续点
若 $x_0$ 是 $f$ 的连续点，则 $\lim_{k\to\infty} f(x_{n_k}) = f(x_0)$ 存在有限，与 $|f(x_{n_k})| \to +\infty$ 矛盾。
公式：$\lim_{k\to\infty} f(x_{n_k}) = f(x_0)$
提示：连续点处极限等于函数值，因此函数值有限。
步骤 5/6
目标：分情况讨论：$x_0$ 为第一类间断点
若 $x_0$ 是第一类间断点，则左极限 $f(x_0^-)$ 和右极限 $f(x_0^+)$ 存在有限。由于 $x_{n_k} \to x_0$，存在子列要么从左侧趋于 $x_0$，要么从右侧趋于 $x_0$（或两侧都有）。不妨设存在子列 $\{x_{n_{k_j}}\}$ 从左侧趋于 $x_0$，则 $\lim_{j\to\infty} f(x_{n_{k_j}}) = f(x_0^-)$ 有限，与 $|f(x_{n_{k_j}})| \to +\infty$ 矛盾。右侧同理。
公式：$\lim_{j\to\infty} f(x_{n_{k_j}}) = f(x_0^-)$ 或 $f(x_0^+)$
提示：注意子列可能同时从两侧趋于 $x_0$，但至少有一侧存在子列。第一类间断点的左右极限均有限。
步骤 6/6
目标：得出矛盾，完成证明
所有情况均导致矛盾，因此假设不成立，$f(x)$ 在 $[a,b]$ 上有界。
提示：反证法关键在于构造矛盾。
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