安徽师范大学 2013年数学分析第0题
📝 题目
四，（20 分）证明：（1）在 $\displaystyle [a, b]$ 上凸函数必有界．
（2）［a，b］上凸函数必内必一致连续．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：证明凸函数在闭区间上有上界
对任意 $x \in [a,b]$，将其表示为端点 $a$ 和 $b$ 的凸组合：$x = \frac{b-x}{b-a}a + \frac{x-a}{b-a}b$。由凸函数定义，有 $f(x) \le \frac{b-x}{b-a}f(a) + \frac{x-a}{b-a}f(b)$。右边是关于 $x$ 的线性函数，在闭区间 $[a,b]$ 上连续，故有最大值，因此 $f(x)$ 有上界。
公式：f(x) \le \frac{b-x}{b-a}f(a) + \frac{x-a}{b-a}f(b)
提示：注意凸组合的系数非负且和为1，这是凸函数定义的关键应用。
步骤 2/6
目标：证明凸函数在闭区间上有下界
取中点 $c = \frac{a+b}{2}$。对任意 $x \in [a,b]$，令 $x' = a+b-x$，则 $c = \frac{x+x'}{2}$。由凸性得 $f(c) \le \frac{f(x)+f(x')}{2}$，从而 $f(x) \ge 2f(c) - f(x')$。由于 $x' \in [a,b]$，由第一步知 $f(x')$ 有上界，故 $2f(c)-f(x')$ 给出一个下界。因此 $f$ 在 $[a,b]$ 上有下界。
公式：f(x) \ge 2f(c) - f(x'), \quad c = \frac{a+b}{2}
提示：利用中点构造对称点，将下界问题转化为上界问题。
步骤 3/6
目标：总结第一部分：凸函数有界
由前两步，$f$ 在 $[a,b]$ 上既有上界又有下界，因此 $f$ 在 $[a,b]$ 上有界。
提示：有界性包括上下界，缺一不可。
步骤 4/6
目标：建立凸函数的斜率单调性
对任意 $x
公式：\frac{f(y)-f(x)}{y-x} \le \frac{f(z)-f(y)}{z-y}
提示：该不等式可通过凸函数定义中的参数变换得到，注意严格推导。
步骤 5/6
目标：证明凸函数在闭区间上是Lipschitz连续的
取任意 $u,v \in [a,b]$ 且 $u
公式：|f(x)-f(y)| \le L|x-y|, \quad L = \max\left\{ \left|\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\right|, \left|\frac{f(a)-f(b)}{a-b}\right| \right\}
提示：Lipschitz常数L的选取需考虑端点斜率，但凸函数在闭区间上斜率有界，因此L有限。
步骤 6/6
目标：由Lipschitz连续性推出一致连续性
由于 $f$ 在 $[a,b]$ 上满足 Lipschitz 条件：$|f(x)-f(y)| \le L|x-y|$，对任意 $\epsilon>0$，取 $\delta = \epsilon/L$，则当 $|x-y|<\delta$ 时，有 $|f(x)-f(y)|<\epsilon$。因此 $f$ 在 $[a,b]$ 上一致连续。
公式：\delta = \frac{\epsilon}{L}
提示：一致连续要求$\delta$只依赖于$\epsilon$，不依赖于点的位置，Lipschitz条件正好满足。
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