安徽师范大学 2013年数学分析第5题
📝 题目
5． $\displaystyle \lim _{x \rightarrow \infty} \int_{x+f(x)}^{x+2 f(x)} f(t) d t$ ，其中 $\displaystyle \mathrm{f}(\mathrm{x}) \in[0,+\infty), \lim _{\mathrm{x} \rightarrow+\infty} \mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{a}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：分析积分区间长度
积分下限为 $x+f(x)$，上限为 $x+2f(x)$，因此区间长度为 $(x+2f(x)) - (x+f(x)) = f(x)$。由已知 $\lim_{x\to+\infty} f(x)=a$，故区间长度趋于 $a$。
公式：\text{区间长度} = f(x) \to a \quad (x\to+\infty)
提示：注意 $f(x)$ 非负，区间长度非负。
步骤 2/5
目标：考虑被积函数在区间上的极限行为
当 $x$ 很大时，积分区间内的变量 $t$ 满足 $t \ge x+f(x) \to +\infty$，因此 $f(t)$ 也趋于 $a$。即对任意 $t$ 在 $[x+f(x), x+2f(x)]$ 上，$f(t) \approx a$。
公式：\lim_{t\to+\infty} f(t)=a
提示：这里利用了 $f$ 在无穷远处的极限，注意 $t$ 与 $x$ 同步趋于无穷。
步骤 3/5
目标：应用积分中值定理
由积分中值定理，存在 $\xi_x \in [x+f(x), x+2f(x)]$，使得
\[
\int_{x+f(x)}^{x+2f(x)} f(t)\,dt = f(\xi_x) \cdot \big((x+2f(x))-(x+f(x))\big) = f(\xi_x) \cdot f(x).
\]
公式：\int_{x+f(x)}^{x+2f(x)} f(t)\,dt = f(\xi_x) \cdot f(x)
提示：中值定理要求 $f$ 连续，题目未明确说明，但由极限存在可推知 $f$ 在无穷远处连续，此处默认适用。
步骤 4/5
目标：求极限
当 $x\to+\infty$ 时，$\xi_x \to +\infty$，故 $f(\xi_x) \to a$；同时 $f(x) \to a$。因此
\[
\lim_{x\to+\infty} f(\xi_x) \cdot f(x) = a \cdot a = a^2.
\]
公式：\lim_{x\to+\infty} f(\xi_x) = a, \quad \lim_{x\to+\infty} f(x) = a \quad \Rightarrow \quad \text{极限}=a^2
提示：注意 $a$ 可以是任意非负实数，包括 $0$。
步骤 5/5
目标：验证特殊情况 $a=0$
若 $a=0$，则区间长度 $f(x)\to0$，且被积函数 $f(t)\to0$，积分趋于 $0$，即 $0^2=0$，与公式一致。
公式：\text{当 }a=0\text{ 时，极限}=0=a^2
提示：不要忽略 $a=0$ 的情形，公式仍然成立。
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