安徽师范大学 2013年数学分析第0题
📝 题目
八，设 $\displaystyle f(x, y, z)=\left\{\begin{array}{c}(x+y+z)^{p} \sin \frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2} \neq 0\right) \\ 0, x^{2}+y^{2}+z^{2}=0\end{array}\right.$ ，其中 $\displaystyle p \in N^{+}$，证明 $\displaystyle p>0$ 时，$\displaystyle f(x, y, z)$ 在原点处连续．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：明确要证明的结论
要证明 $f(x,y,z)$ 在原点处连续，即证明 $\lim_{(x,y,z)\to(0,0,0)} f(x,y,z)=f(0,0,0)=0$。
提示：注意连续的定义：函数在该点的极限值等于函数值。
步骤 2/6
目标：写出函数表达式并估计绝对值
当 $(x,y,z)\neq(0,0,0)$ 时，$f(x,y,z)=(x+y+z)^p \sin\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}$。由于 $|\sin(\cdot)|\leq 1$，有 $|f(x,y,z)|\leq |x+y+z|^p$。
公式：$|\sin\theta|\leq 1$
提示：注意绝对值不等式方向，不要忘记绝对值。
步骤 3/6
目标：利用不等式放缩 $|x+y+z|$
由柯西不等式或基本不等式，$|x+y+z|\leq \sqrt{3(x^2+y^2+z^2)}$，因此 $|x+y+z|^p\leq (\sqrt{3})^p (x^2+y^2+z^2)^{p/2}$。
公式：$|x+y+z|\leq \sqrt{3(x^2+y^2+z^2)}$
提示：注意 $p$ 是正整数，幂次运算时保持不等式方向不变。
步骤 4/6
目标：得到 $|f(x,y,z)|$ 的上界
结合前两步，得到 $|f(x,y,z)|\leq (\sqrt{3})^p (x^2+y^2+z^2)^{p/2}$。
提示：注意上界是 $(x^2+y^2+z^2)^{p/2}$ 的常数倍。
步骤 5/6
目标：取极限并应用夹逼定理
当 $(x,y,z)\to(0,0,0)$ 时，$x^2+y^2+z^2\to 0$。由于 $p>0$，$(x^2+y^2+z^2)^{p/2}\to 0$。因此 $0\leq |f(x,y,z)|\leq (\sqrt{3})^p (x^2+y^2+z^2)^{p/2}\to 0$。由夹逼定理得 $\lim_{(x,y,z)\to(0,0,0)} f(x,y,z)=0$。
公式：夹逼定理
提示：注意 $p>0$ 是保证 $(x^2+y^2+z^2)^{p/2}\to 0$ 的关键。
步骤 6/6
目标：得出结论
因为极限值等于函数值 $f(0,0,0)=0$，所以 $f(x,y,z)$ 在原点处连续。
提示：连续性的证明完成，注意检查是否满足定义。
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